Решение уравнений с модулем Гулый Алексей, Голубов Сергей, Милишкевич Руслан 10 класс МОУ «Гимназия» МО «Островский район»

Знаете ли вы? Что такое модуль числа? Как изображаются на координатном луче числа, модуль которых равен a? Что можно сказать о выражениях, модули которых равны? Каков алгоритм решения уравнений, содержащих модуль?

Очень часто бывает так, что две противоположности живут в одном «доме». Например, у S и N полюса – их дом «магнит»; «+» и «-» полюса – их дом «источник тока». А два противоположных числа можно поселить в дом, который называется «модулем числа». Модуль

Определение модуля МОДУЛЬ ЧИСЛА a - это РАССТОЯНИЕ от 0 до точки с координатой a, выраженное в единичных отрезках Какие значения может принимать число a? Какие значения может принимать | a |? Если a > 0, то | a | = a Если a < 0, то | a | = - a Если a = 0, то | a | = 0 a < 0 a > 0 a = 0

Сколько корней имеет уравнение | x | = a? | x | = 5; | x | = 0; | x | = -7.

Алгоритм решения уравнения | x | = a.

От простого к сложному Виды уравнений, содержащие знак модуля: И не только…

Решение уравнения Так как модули равны, то это значит, что 3 х – 1 = 2 х +3 или 3 х – 1 = - (2 х +3) Решим каждое уравнение. 3 х – 2 х = х – 1 = -2 х - 3 х = 4 3 х + 2 х = х = -2 х = - 0,4 Решение данного уравнения имеет вид: х = 4; х = - 0,4

Решение уравнения методом разбиения оси на промежутки знакопостоянства Установим точки, в которых обращается в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Х = 0 и 3 – 2 х = 0 х = 1,5 Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, внутри которых выражения сохраняют постоянный знак (промежутки знакопостоянства). Это позволяет освободиться на каждом из таких промежутков от знака модуля и свести задачу к решению нескольких уравнений. Определим знак выражения, стоящего под знаком модуля на каждом промежутке. Х ,5 + +

раскроем знак модуля на каждом промежутке х 1,5 -x = 3 – 2x – x – 1 х = 3 – 2 х – х – 1 х = -(3 – 2 х) – х – 1 2x = 2 4 х = 2 х = х – х – 1 х = 1 х = 0,5 0 х = - 4 Не является корнем, нет решений т.к. не принадлежит данному промежутку Ответ : х = 0,5 Обратите внимание: Знак выражения сохраняется, если выражение под знаком модуля «+»; меняется на противоположный, если выражение под знаком модуля «-».

Выполним решение согласно предыдущему алгоритму 8 – 5 х = 0 3 +х = 0 5 – 6 х = 0 -5 х = - 8 х = -3 х = х = 1,6 Определились точки, обращающие модуль в нуль

, Х Х Х Промежутки знакопостоянства

Раскроем знак модуля на каждом промежутке X 1,6 8 – 5x = -3 – x +5 – 6x 8 – 5x =3 +х + 5 – 6 х 8 – 5x =3 +х x 2x = -6 0 х = 0 -12x = - 10 X= - 3 х [ -3 ; ] Не является решением ответ

Найдем точку обращающую в нуль внутренний модуль Х +2 = 0 Х = -2 Раскроем данный модуль на каждом числовом промежутке: для x< -2 имеем 3 х -1 = 0 Х = Х -2 -+

Х - - Если х (- ; -2), то 3 х- 1

Если х -2, то Х – 5 = 0 Х = 5 Если х [-2; 5), то уравнение примет вид -х +5 = 8 х х = 7 Х = Х Если х [5; + ), то уравнение примет вид х – 5 = 8 х х = 17 Х = - Не является корнем Ответ: х = -

Решение графическим способом Для этого построим график левой и правой части уравнения У= - графиком является биссектриса 1 и 2 четверти У = х +1 – графиком является прямая Точка пересечения графиков позволит определить корень уравнения. Х У 0 1 У= У = х +1 Ответ: х = -1

Испытай свои силы

Ресурсы И.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов Алгебра 8 класс М., Просвещение, 2006 г. Естественно научный образовательный портал Портал информационной поддержки ЕГЭ