Кафедра математики и моделирования Старшие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 16 Тема: Метод математической индукции. Цель: Научиться применять ММИ при доказательстве утверждений, свойств.

Введение Во многих разделах математики приходится доказывать истинность предложений, зависящих от натуральной переменной, для всех значений этой переменной. Один из наиболее распространенных методов доказательств истинности таких предложений является метод математической индукции

Введение Вспомним знаменитого Шерлока Холмса. Какой метод рассуждения применялся им при расследовании дел? Правильно, метод дедукции – метод рассуждения, при котором новое положение выводится логическим путем от общих положений к частным выводам. А какой метод рассуждений является противоположным дедукции? Верно, индукция – способ рассуждения от частных положений к общим выводам. «Это невозможно!»- скажешь ты, вспомнив тему сегодняшнего урока. Математикам не свойственно делать общие выводы на основании частных случаев. Не спеши огорчаться, математики придумали свою индукцию – математическую, которая не уступает в строгости другим математическим методам.

Метод математической индукции Метод математической индукции (ММИ) Предложение считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполняются следующие условия: Предложение верно при ; Для любого натурального числа из предположения, что верно для, следует, что оно верно и для.

Схема доказательства ММИ 1. база индукции (проверка справедливости предложения ); 2. индуктивное предположение (допущение, что предложение верно для любого натурального ); 3. индуктивный переход (доказательство, что верно предложение с помощью индуктивного предположения).

Пример 1 Доказать ММИ, что сумма первых нечетных натуральных чисел равна, т.е. доказать формулу (1)

Пример 1 Доказательство. 1. База индукции. Докажем, что формула верна при. Так как значение говорит о количестве слагаемых в левой частим равенства, то левая часть равенства представляет собой одно слагаемое, а именно первое, т.е. 1. Значение правой части равенства находится непосредственной подстановкой вместо единицы, т.е.. Сравнивая левую и правую части равенства, имеем (верно).

Пример 1 2. Индуктивное предположение. Допустим, что равенство (1) верно при, для любого натурального, т.е. верна формула

Пример 1 3. Индуктивный переход. Докажем, что равенство (1) верно при, т.е. (2) Замечание. В левой части равенства мы написали предпоследнее слагаемое, что дает возможность использовать при доказательстве индуктивное предположение. Используя пункт 2), заменим в левой части равенства (2) первые слагаемых на выражение, а последнее слагаемое упростим, раскрыв скобки. Тогда левая часть примет вид Свернем последнее выражение, используя формулу квадрата суммы:. Итак, левая часть имеет вид, а, значит, равна правой. Отсюда, формула (1) верна для любого натурального.

Замечание Необходимо отметить, что важно соблюдать всю цепочку индуктивного доказательства. О чем свидетельствуют следующие примеры.

Пример 2 Докажем ММИ, что каждое натуральное число равно следующему за ним, таким образом, доказывая, что все натуральные числа равны между собой. Доказательство. Пусть утверждение верно при некотором, т.е.. Покажем, что тогда. Действительно, прибавим к обеим частям единицу. Значит, все натуральные числа равны между собой. Абсурдное утверждение! Где допущена ошибка?

Пример 3 Докажем, что все кошки на земле серые. Точнее покажем, что любое конечное общество кошек одного цвета. Доказательство поведем индукцией по - числу кошек в обществе.

Пример 3 1. База индукции. Очевидно, что истинно. 2. Индуктивное предположение. Допустим, что утверждение истинно для любого натурального. 3. Индуктивный переход. Рассмотрим произвольный набор из кошки. Выведем из этого общества одну кошку, назовем ее Муркой. Оставшиеся кошек по предположению индукции одного цвета. Вернем Мурку и заберем другую, которую назовем Нюркой. Опять по предположению индукции оставшиеся в обществе кошек одного цвета, причем такого же, как Мурка и Нюрка. Вывод: любое конечное общество кошек одного цвета. Найти ошибку в рассуждении.

Другая формулировка ММИ Заметим, что индуктивный процесс не обязан начинаться с 1. В качестве базы индукции может выступать любое целое число, и тогда формулировка метода математической индукции примет вид. Предложение считается истинным для всех целых значений переменной, если выполняются следующие условия: 1. Предложение верно при ; 2. Для любого целого числа из предположения, что верно для, следует, что оно верно и для.

Вопросы: Перечислить основные этапы доказательства ММИ. Обобщить свое оригинальное решение, а именно найти сумму натуральных чисел ? Доказать свою формулу ММИ.