Построение графиков функций, аналитическое задание которых содержит знак модуля.

Абсолютной величиной или модулем действительного числа числа а называется число число |а|, определяемое равенством:

Построение графиков функций с модулем вида : a) a) Рассмотрим функцию: функцию: y = f ( |x| ) По свойству модулей модулей |-x| = |x|, т. е. е. f ( |-x| )= )= f ( |x| ), y = f ( |x| ) y = | f ( |x| ) | y = | f (x ) | значит функция функция y = f ( |x| ) -чётная, т. е. её график симметричен относительно оси OY.

Воспользуемся свойством чётности для построения графика Этот график будет расположен в правой полуплоскости. полуплоскости. Отобразим его симметрично относительно оси OY OY и получим график функции Для этого рассмотрим график функции для для x >0 = f ( x ) = f ( x ) y = f ( |x| )

Построить график функции 1 y x y = x - 1 y = | x | - 1

Исходным графиком будет график функции для x > 0 Решение: Построить график функции y = |x| |x| + 3 y = x x + 3

x y y = |x| |x| + 3 Построение графика функции y = x x + 3

Алгоритм построения графика функции вида 1) 1) Строим график функции 2) 2) Зеркально отображаем построенную часть графика функции относительно оси ординат в левую полуплоскость. y = f ( |x| ) y = f ( x ) для x 0 y = f ( x )

б) Область определения совпадает с областью определения функции f ( x ). y = | f ( x ) | y 0 x Исходный график расположен в верхней полуплоскости. Множество значений функции | f ( x ) | неотрицательно. Свойства функции: Свойства функции : y = | f ( x ) |

Строим график функции Все точки этого графика, лежащие ниже оси ОХ, зеркально отображаем относительно неё в верхнюю полуплоскость. y = f ( x ) y = | f ( x ) |

ХУ Построить график функции y = |x-1| y = x - 1

y = x 2 – 4x + 3 Построить график функции y = | x х + 3 | x y y = | x х + 3 |

1. Строим график функции Часть графика, графика, для которой значения функции положительны, положительны, оставляем без изменения Часть графика, графика, для которой значения функции отрицательны, отрицательны, зеркально отображаем в верхнюю полуплоскость. y = | f (x ) | y = f ( x )

В)В) потом потом к графику функции Для построения графика этой функции следует последовательно перейти y = f ( |x| ) y = | f ( |x| ) | y = f (x ) y = | f ( |x| ) | Построение графиков функций от графика функции к графику функции

x y y = | |x| -1 | Построить график функции y = x -1 y = |x| -1 y = | |x| -1 |

Построить y = | |x| |x| + 3 | график функции x y y = |x| |x| + 3 y = x x + 3 y = | |x| |x| + 3 |

3. Часть графика, для которой значения функции положительны, оставляем без изменения, а часть графика, для которой значения функции отрицательны, зеркально отображаем в верхнюю полуплоскость. 1. Строим график функции 1. Строим график функции только для х 0. y = f ( x ) y = | f ( |x| ) | 2. Зеркально отображаем построенную часть графика функции относительно оси ординат в левую полуплоскость. y = f ( x ) 1 2 3

Построим два графика : Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков. Решение уравнений с модулем графическим способом. | 2 x - 5 | = х - 1 у = | 2 x - 5| у = | 2 x - 5 | у = х - 1 и

Ответ : { 2; 4 } | 2 x - 5 | = х - 1 у = | 2 x – 5 | у = х - 1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯу х

Построим два графика Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков. | x 2 - х | = 6 у = 6 у = | x 2 - х | и

Ответ : { - 2 ; 3 } х у |x 2 - х | y = | x 2 - х | y = 6 x 2 - х y = x 2 - х | x 2 - х | = 6 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

Пример 9: и Построим два графика Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков. y = 4 | х | - | x | 2 у = 3 4 | х | - | x | 2 = 3 4 | х | - | x | 2 = 3

у х Ответ: { + 1 ; + 3 } y = 3 y = 4 x – x 2 y = 4 | х | – | x | 2 4 | х | - | x | 2 = 3 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

Лекторы: Курсеков Сергей Самсонов Антон Выпускники 2001/2002 учебного года.

Руководители : - преподаватель математики Хохлова С.Н. - преподаватель информатики Нестеренко В.В.