Мир многогранников

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства Бертран Рассел

Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому, как многоугольники – простейшие фигуры на плоскости.

Определение многогранника Многогранник – это часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединённых таким образом, что каждая сторона любого многогранника является стороной ровно одного многоугольника. Многоугольники называются гранями, их стороны – рёбрами, а вершины – вершинами.

Многогранники Однородные выпуклые Однородные невыпуклые Тела Архимеда Тела Платона Выпуклые призмы и антипризмы Тела Кеплера- Пуансо Невыпуклые полуправильные однородные многогранники Невыпуклые призмы и антипризмы

Вспомним Какой многоугольник называется выпуклым? невыпуклым?

Проведите аналогию Какой многогранник называется выпуклым? невыпуклым?

Прямоугольный параллелепипед выпуклым Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Невыпуклый многогранник

Мы начинаем знакомство с правильных плоских и пространственных фигур

Цели урока: Дать понятие правильных многогранников (на основе определения многогранников). Доказать почему существует только 5 типов правильных многогранников. Рассмотреть свойства правильных многогранников. Познакомить с историческими фактами, связанными с теорией правильных многогранников. Показать, как можно с помощью куба построить другие виды правильных многогранников.

1. Понятие правильного многогранника

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук. Л. Кэрролл

Вспомним Какой многоугольник называется правильным? Приведите примеры известных вам правильных многоугольников.

Проведите аналогию Какой многогранник называется правильным? С какими правильными многогранниками вы уже знакомы?

Из истории Название правильные идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. Правильные многоугольники – это многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, правильные многогранники – это многогранники, ограниченные правильными и одинаковыми многоугольниками.

Из истории До сих пор многоугольники нередко называют в науке по-гречески с окончанием гон: полигон – многоугольник, пентагон – пятиугольник (такой формы сверху здание Театра Российской Армии в Москве и Министерства обороны США в Вашингтоне), кексагон – шестиугольник (ячейка пчелиных сот сверху) и т.д.

Из истории Каждый из вас знаком с простейшими пространственными математическими фигурами, или многогранниками. По- гречески они оканчиваются на эдр. Тетраэдр напоминает пирамиду или треугольный пакет для молока или майонеза; куб, или кексаэдр – это известный всем с раннего детства кубик и т.д.

Из истории Все типы правильных многогранников были известны в Древней Греции – именно им посвящена завершающая, XIII книга «Начал» Евклида.

Из истории Как говорилось раньше, эти многогранники часто называют также платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном.

2. Платоновы тела

Платоновы тела Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Однако между двумерным и трехмерным случаями есть важное отличие: существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников.

Правильный тетраэдр Составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180º.

Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º. Правильный октаэдр

Правильный икосаэдр Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º.

Куб (кексаэдр) Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º.

Правильный додекаэдр Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º.

Почему их всего 5? Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

пришли из Древней Греции, в них указывается число граней: «эдра» грань «тетра» 4 «кекса» 6 «окта» 8 «икоса» 20 «додека» 12 Названия многогранников

Олицетворение многогранников Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

Олицетворение многогранников огонь тетраэдр икосаэдр вода

Олицетворение многогранников октаэдр воздух кексаэдр земля

Олицетворение многогранников вселенная додекаэдр

Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по- видимому было нетрудно, тем более, что эти формы имеют природные кристаллы, например: форму куба имеет монокристалл поваренной соли (NaCl), форму октаэдра – монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KAlSO4)2*12H2O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS) и т.д.

Правильный многогранник Число граней вершин рёбер Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Заполним таблицу. Подсчитайте количество вершин, граней и ребер у правильных многогранников.

Тетраэдр Икосаэдр Гексаэдр Додекаэдр Октаэдр

Правильный многогранник Число граней вершин рёбер Тетраэдр 446 Куб 6812 Октаэдр 8612 Додекаэдр Икосаэдр Проверяем

Число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум. Теорема Эйлера В – Р + Г = 2

3. Архимедовы тела

Архимед Сиракузский около 287 – 212 гг. до н.э. Математик, физик и инженер Архимед Сиракузский оставил после себя немало изобретений, тринадцать сочинений (таких как «О сфере и цилиндре», «Измерение круга», «Равновесие плоскостей», «Стомахион», «Правильный семиугольник и другие). Архимед, как геометр определил поверхность шара и его объём, исследовал параболоиды и гиперболоиды, изучал «архимедову спираль», определил число «пи», как находящееся между 3,141 и 3,142. Вклад Архимеда в теорию многогранников - описание 13 полуправильных выпуклых однородных многогранников (архимедовых тел).

Тела Архимеда Архимедовыми телами называются полуправильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов.

Отличие тел Архимеда от тел Платона Грани – правильные многоугольники нескольких типов

Множество Архимедовых тел Первую из них составят пять многогранников, которые получаются из платоновых тел в результате их усечения. Так могут быть получены пять архимедовых тел: усечённый тетраэдр, усечённый кексаэдр (куб), усечённый октаэдр, усечённый додекаэдр и усечённый икосаэдр.

Множество Архимедовых тел Другую группу составляют всего два тела, именуемых также квази правильными многогранниками. Эти два тела носят названия: кубооктаэдр и икосододекаэдр

Множество Архимедовых тел Два последующих многогранника называются ромбокубооктаэдром и ромбоикосододекаэдром. в отличие от большого ромбокубооктаэдра и большого ромбоикосододекаэдра. Иногда их называют также «малым ромбокубооктаэдром» и «малым ромбоикосододекаэдром» в отличие от большого ромбокубооктаэдра и большого ромбоикосододекаэдра.

Множество Архимедовых тел Наконец существуют две так называемые «курносые» модификации одна для куба, другая для додекаэдра. Для каждой из них характерно несколько повёрнутое положение граней, что даёт возможность построить два различных варианта одного и того же «курносого» многогранника (каждый из них представляет собой как бы зеркальное отражение другого).

Тела Архимеда Тело Ашкинузе

Свойство Архимедовых тел Любые две вершины можно совместить так, что все грани многогранника попарно совпадут друг с другом. Многогранник на рисунке в центре этим свойством не обладает. Древние греки обладали высокоразвитым чувством гармонии и не удивительно, что этот многогранник не попал в число архимедовых тел. В течение двух тысячелетий он находился в тени и был изобретен в середине нашего столетия независимо несколькими математиками в разных странах. В нашей литературе этот многогранник часто называют телом Ашкинузе, по имени советского математика, который первым обратил на него внимание.

4. Звездчатые многогранники (тела Кеплера-Пуансо)

Иоганн Кеплер 1571 – 1630 гг. Немецкий астроном и математик. Один из создателей современной астрономии. Вклад Кеплера в теорию многогранника - это, во-первых, восстановление математического содержания утерянного трактата Архимеда о полуправильных выпуклых однородных многогранниках. Еще более существенным было предложение Кеплера рассматривать невыпуклые многогранники со звездчатыми гранями, подобными пентаграмме и последовавшее за этим открытие двух правильных невыпуклых однородных многогранников - малого звездчатого додекаэдра и большого звездчатого додекаэдра.

Тела Кеплера - Пуансо Среди невыпуклых однородных многогранников существуют аналоги платоновых тел - четыре правильных невыпуклых однородных многогранника или тела Кеплера - Пуансо. Как следует из их названия, тела Кеплера-Пуансо - это невыпуклые однородные многогранники, все грани которых - одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы которых равны. Грани при этом могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми.

Большой звездчатый додекаэдр Большой икосаэдр Малый звездчатый додекаэдр

Космологическая гипотеза Кеплера Кеплер предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел). Между каждой парой "небесных сфер", по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Весьма оригинальна космологическая гипотеза Кеплера, в которой он попытался связать некоторые свойства Солнечной системы со свойствами правильных многогранников.

Космологическая гипотеза Кеплера Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр.. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр. Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна. Позже, с открытием еще трех планет и более точным измерением расстояний, эта гипотеза была полностью отвергнута.

Очень интересную информацию о многогранниках можно найти в книге Магнуса Веннинджера Модели многогранников. Там же есть развертки многих тел.

Магнус Веннинджер (1919 г. р.)

5. Многогранники вокруг нас

С многогранниками мы постоянно встречаемся в нашей жизни Древние Египетские пирамиды и кубики, которыми играют дети; Объекты архитектуры и дизайна, природные кристаллы; Вирусы, которые можно рассмотреть только в электронный микроскоп, Прочные конструкции – шестиугольные соты, которые пчелы строили задолго до появления человека.

Многогранники в искусстве В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники. Леонардо да Винчи ( ) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции.'' Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер ( ), в известной гравюре ''Меланхолия ' на переднем плане изобразил додекаэдр. художник Эшер

«Тайная вечеря» Сальвадора Дали

Правильные многогранники и природа Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр (рис. 8). Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. Феодария (Circjgjnia icosahtdra)

Правильные многогранники и природа Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами (K[Al(SO 4 ) 2 ] 12H 2 O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Правильные многогранники и природа Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na 5 (SbO 4 (SO 4 )) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Александрийский маяк

Висячие сады Семирамиды

Галикарнасский мавзолей

Египетские пирамиды

Храм Артемиды Эфесской

Башня Сююмбике

Корпус физического факультета КГУ

Мечеть Кул-Шариф

Никольский собор

Спасская башня Кремля

Домашнее задание Сочинение «Применение многогранников в нашей жизни» Изготовить или самостоятельно выполнить выкройку одной из моделей звёздчатых многогранников (задание по желанию)