В Е К Т О Р Ы Раздел 6 6.1

Вектором называется направленный отрезок. Основные характеристики вектора: длина и направление. А – начало вектора (точка приложения) В – конец вектора Обозначение вектора:, А В Длина (модуль) вектора – это длина соответствующего отрезка АВ. Направление вектора – направление соответствующего ему луча.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором, или точкой. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом. Векторы, имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными. Векторы, имеющие противоположные направления, называются противоположно направленными. Сонаправленные и противоположно направленные векторы называются коллинеарными. Они расположены на одной прямой, либо на параллельных прямых.

- коллинеарные. - сонаправленные вектор является противоположно направленным к векторам Два вектора равны, если равны их модули и одинаковы направления. Равными являются векторы, получаемые друг из друга с помощью параллельного переноса.

Действия над векторами 6.2

1. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ а) правило параллелограмма (векторы имеют общее начало)

Если начала векторов не совпадают, то их нужно совместить параллельным переносом. (Параллельный перенос вектора – это перенос точки его приложения без изменения модуля и направления.)

б) правило треугольника (векторы расположены последовательно)

Если векторы расположены не последовательно, то нужно совместить параллельным переносом конец первого с началом второго.

Нарисовать два произвольных вектора. Найти их сумму двумя способами. Сравнить результаты. Записать вывод. Оба способа дают одинаковый результат. Сравнение двух способов сложения

Сумма большого количества векторов

2. ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ Векторы должны иметь общее начало

3. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СКАЛЯР Скаляр – величина, которая, в отличие от вектора, имеет только числовое значение, но не имеет направления. При умножении вектора на скаляр, модуль вектора умножается на модуль скаляра, а направление не изменяется, если скаляр положительный, или изменяется на противоположное, если скаляр отрицательный.

Поиск сокровищ 10 на север 5 на юго-восток 2 на юг 3 на запад 12 на юго-запад 5 на север 10 на юго-восток 4 на северо-восток 10 на север

Если на плоскости задана точка О (называемая началом координат) и два взаимно перпендикулярных вектора единичной длины, исходящие из этой точки, то говорят, что задана система координат. СИСТЕМА КООРДИНАТ

Координаты вектора 6.3

Вектор на координатной плоскости задается своими координатами, которые являются проекциями вектора на оси. х у х 1 х 1 х 2 х 2 у 1 у 1 y2y2 А В ахах проекция вектора на ось х ауау проекция вектора на ось у А (х 1 ; у 1 ) В (х 2 ; у 2 )

х у х 1 х 1 х 2 х 2 у 1 у 1 y2y2 А В ахах ауау Координаты вектора : Длина вектора :

Задача 1. Построить треугольник по заданным координатам вершин, найти длины его сторон и площадь. Дано: А (4; 5) В (-3; 6) С (2; -2) S – ? Решение: 1)

2) 3) Дано: А (4; 5) В (-3; 6) С (2; -2) S – ? Решение: 4)

Действия над векторами, заданными своими координатами 6.4

Даны два вектора: и Условие коллинеарности векторов: Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

Являются ли коллинеарными векторы:

Скалярное произведение векторов

Результатом скалярного произведения векторов является скаляр, равный произведению длин векторов на косинус угла между ними: Если векторы заданы координатами: то:

Богомолов с Найти скалярное произведение векторов 2.

Угол между векторами

Из формулы для скалярного произведения можно выразить косинус угла между векторами:

Богомолов с Найти угол между векторами 2. Найти угол между векторами

Задача 3. Построить треугольник по заданным координатам вершин, найти его углы. Дано: А (6; 2) В (-7; 3) С (1; -2) Решение: 1) По таблице Брадиса:

2)

3) Проверка:

1) 2) 3) Дано : А (6; 2) В (-7; 3) С (1; -2) Решение:

Векторное произведение векторов

Результатом векторного произведения векторов и является такой вектор : 1) Перпендикулярный к плоскости, в которой лежат и ; 2) Модуль которого равен: 3) Направление: если смотреть с конца вектора, то кратчайший поворот от к - против часовой стрелки.

Геометрическая интерпретация: Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах и

Задача 3. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и Решение

Деление отрезка в отношении

Дан отрезок АВ: АВ Точка М делит АВ в некотором отношении λ, т. е. М Если А( x A, y A ), B( x B, y B ), то координаты т. М:

АВ Если точка М делит АВ пополам, то М координаты середины отрезка

Задача 1. Построить треугольник по заданным координатам вершин, найти его центр тяжести. Дано: А (4; 5) В (-6; 3) С (-4; -2) Решение: Центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

План решения 1) Найти середины сторон 2) Построить медианы 2) Разделить медианы в отношении 2 : 1.

Дано: А (4; 5) В (-6; 3) С (-4; -2) Решение: 1. Середины сторон N 1 – середина ВС N 1 ( - 5; 0,5)

Дано: А (4; 5) В (-6; 3) С (-4; -2) N 2 – середина АС N 2 ( 0; 1,5) N 3 – середина АВ N 3 ( -1; 4)

Дано: А (4; 5) В (-6; 3) С (-4; -2) 2. Медианы АN 1, BN 2, CN 3 М ( - 2; 2) 3. т. М делит АN 1 в отношении 2:1

А В С N2N2 N1N1 N3N3 M