Ребята, на этом уроке мы займемся обобщением знаний о показателях степеней. Мы умеем вычислять степени с любым целочисленным показателем, но как, же быть в случае не целого числа? И какая связь между корнями и степенными функциями не целого показателя? Давайте немного повторим, рассмотрим число вида Указанные выше правила можно так же использовать как памятку!

Во всех представленных выше правилах, показатель степени целое число, но как, же быть в случае дробного показателя? Что же представляет из себя число и как с ним работать? При работе с такими степенями нужно, чтобы все свойства для целочисленных степеней сохранялись. Например, при возведении степени в степень – показатели перемножались. Пример: Давайте введем вот такую замену символов: Тогда: откуда получаем: То есть мы можем представить исходное выражение в таком виде:

Определение. Пусть нам дана обыкновенная дробь и х 0, тогда Например: Благодаря такому определению удалось сохранить все свойства степенных функции. Давайте умножим два числа с одинаковыми основаниями но разными степенями: Но заметим так же: То есть: Складывать дроби гораздо проще, чем работать с радикалами (нужно привести показатели к одинаковому виду и потом только перемножать), поэтому принято переходить к степенным функциям с дробным показателем.

Пример. Вычислить: а) б) в) г) Решение. а) б) в) г) Извлекать корень с дробным показателем мы можем только из положительного числа, ребята посмотрите на наше определение. Наше выражение не имеет смысла. Вообще вроде бы - верная запись, но давайте внимательно посмотрим на наше выражение:

Получили противоречивое выражение, хотя все операции выполнены верно, согласно свойствам и определениям, поэтому математики запретили возводить в дробную степень отрицательные числа. Ребята запомните это! В дробную степень мы можем возводить только положительные числа!

Определение. Пусть нам дана обыкновенная дробь и х>0, тогда Например: Все свойства с которыми мы сталкивались при работе со степенными числами сохраняются и в случае рациональных степеней, давайте повторим свойства: Пусть нам даны положительные числа a>0 и b>0, x и y – произвольные рациональные числа, тогда выполняются следующие 5 свойств.

Пример. Упростить выражение: Решение. Перепишем числители в виде степенных функций: Приведем к общему знаменателю: Ответ:

Пример. Решить уравнения: а)б) Решение. а) Возведем обе части уравнения в пятую степень б) Наше уравнение очень похоже на предыдущие, если мы перейдем от записи корней к степенным функциям, то запись получится идентичная, но стоит учесть, что у нас сразу дано степенное выражение, по определению число х может быть только положительным, тогда у нас остается один ответ х=1. Ответ: а) x = ±1 б) x=1

Пример. Решить уравнение: Решение. Давайте введем новую переменную: Тогда наше уравнение примет вид обычного квадратного уравнения: Решив уравнение, получим два корня: Нам остается решить два уравнения: Первое уравнение не имеет корней, так как вспомним, что опять же, степенные функции с рациональным показателем определены только для положительных чисел.

Решим второе уравнение Ответ:

Ребята, мы рассмотрели с вами два примера на решение уравнений, такие уравнения принято называть иррациональными. Давайте перечислим основные методы решений иррациональных уравнений: 1) Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. (при использовании этого метода нужно проверять полученные решения, так как могут возникнуть посторонние решения) 2) Метод замены переменных (введения новых переменных). 3) Построение графиков функций. Обе части уравнения представляем в виде функций и строим их графики, находим точки пересечения графиков.

Задачи для самостоятельного решения. 1. Вычислить: а)б)в)г) 2. Упростите выражение: 3. Решить уравнение: а)б) 4. Решить уравнение: