ИНТЕРАКТИВНЫЙ КУРС «СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ» Автор: курсант группы 11СВ Махаев В. В. Руководитель: Колегов К. С. Каспийский институт морского и речного транспорта филиал ФБОУ ВПО «ВГАВТ»

Оглавление Историческая справка Историческая справка Историческая справка Историческая справка Определение систем счисления Определение систем счисления Определение систем счисления Определение систем счисления Непозиционные системы счисления и позиционные системы счисления Непозиционные системы счисления и позиционные системы счисления Непозиционные системы счисления позиционные системы счисления Непозиционные системы счисления позиционные системы счисления Двоичная система счисления Двоичная система счисления Двоичная система счисления Двоичная система счисления Восьмеричная система счисления Восьмеричная система счисления Восьмеричная система счисления Восьмеричная система счисления Десятичная система счисления Десятичная система счисления Десятичная система счисления Десятичная система счисления Шестнадцатеричная система счисления Шестнадцатеричная система счисления Шестнадцатеричная система счисления Шестнадцатеричная система счисления Перевод целых чисел Перевод целых чисел Перевод целых чисел Перевод целых чисел Перевод дробных чисел Перевод дробных чисел Перевод дробных чисел Перевод дробных чисел Таблица переводов Таблица переводов Таблица переводов Таблица переводов

Упрощенное правило перевода Упрощенное правило перевода Упрощенное правило перевода Упрощенное правило перевода Представление двоичных чисел и перевод их в десятичные. Тест 1, тест 2, тест 3, тест 4 Представление двоичных чисел и перевод их в десятичные. Тест 1, тест 2, тест 3, тест 4Представление двоичных чисел и перевод их в десятичные Тест 1 тест 2 тест 3 тест 4Представление двоичных чисел и перевод их в десятичные Тест 1 тест 2 тест 3 тест 4 Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно. Тест Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно. Тест Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно Тест Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно Тест Преобразование из восьмеричной системы счисления в десятичную. Тест Преобразование из восьмеричной системы счисления в десятичную. Тест Преобразование из восьмеричной системы счисления в десятичную Тест Преобразование из восьмеричной системы счисления в десятичную Тест Преобразование десятичных чисел в двоичные. Тест Преобразование десятичных чисел в двоичные. Тест Преобразование десятичных чисел в двоичные. Тест Преобразование десятичных чисел в двоичные. Тест Арифметические действия над двоичными числами Арифметические действия над двоичными числами Арифметические действия над двоичными числами Арифметические действия над двоичными числами Двоичное вычитание и двоичное умножение Двоичное вычитание и двоичное умножение Двоичное вычитание и двоичное умножение Двоичное вычитание и двоичное умножение Двоичное деление Двоичное деление Двоичное деление Двоичное деление Контрольные вопросы Контрольные вопросы Контрольные вопросы Контрольные вопросы

Историческая справка Язык чисел, как и обычный язык имеет свой алфавит. Алфавитом служат десять цифр, от 0 до 9. Этот язык называется десятичной системой счисления. Причины, по которым именно десятичная система оказалась общепринятой, совсем не математического характера. Десять пальцев рук – вот тот первоначальный аппарат для счета.

Системой счисления называют систему приемов и правил, позволяющих устанавливать взаимно- однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов. Множество символов, используемых для такого представления, называют цифрами.

Системы счисления Позиционнаянепозиционная

Позиционные и непозиционные системы счисления

В непозиционных системах любое число определяется как некоторая функция от численных значений совокупности цифр, представляющих это число. Цифры в непозиционных системах счисления соответствуют некоторым фиксированным числам. Пример непозиционной системы – римская система счисления. Таблица 1. Запись чисел в римской системе счисления IIIIIIIVV VIVIIVIIIIXX XIXIIIXVIIIXIXXXII XXXIVXXXIXXLLXXCIX CCCDXXXVIIIDCXLIXCMXCIXMCCVII MMXLVMMMDLVMMMDCLXXVIIIMMMCMMMMCMXCIX

В непозиционных системах любое число определяется как некоторая функция от численных значений совокупности цифр, представляющих это число. Цифры в непозиционных системах счисления соответствуют некоторым фиксированным числам. Пример непозиционной системы – римская система счисления. Таблица 1. Запись чисел в римской системе счисления Десятичная РимскаяДесятичная Римская 1l9lX 2ll10X 3lll11Xl 4lV12Xll 5V13Xlll 6Vl14XlV 7Vll15XV 8Vlll16XVl

Систему счисления называют позиционной, если одна и та же цифра может принимать различные численные значения в зависимости от номера разряда этой цифры в совокупности цифр, представляющих заданное число. Пример такой системы – арабская десятичная система счисления. Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления каждая цифра числа имеет определенный вес, зависящий от позиции в последовательности, изображающей число. Позиция называется разрядом.

Двоичная система счисления, т.е. система с основанием 01, является «минимальной» системой, в которой полностью реализуется принцип позиционности в цифровой форме записи чисел. В двоичной системе счисления значение каждой цифры «по месту» при переходе от младшего разряда к старшему увеличивается вдвое.

Восьмеричная система счисления Восьмеричная система счисления позиционная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триплеты двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную 0 8 = = = = = = = = 111 2

Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную

Для записи двоичных чисел используются две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны 2 варианта записи. Решаем показательное уравнение: 2 = 2 i. Так как 2 = 2 1, то i = 1 бит. Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информации. Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. Решаем показательное уравнение: 8 = 2 i. Так как 8 = 2 3, то i = 3 бита.

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации. Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нулями. Переведем таким способом двоичное число в восьмеричное: => 1 × × × 2 0 ; 0 × × × 2 0 => Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры: Двоичные триады 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную Восьмеричные цифры : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в восьмеричное необходимо разбить его на триады слева направо и, если в последней, правой, группе окажется меньше трех цифр, дополнить ее справа нулями. Далее необходимо триады заменить на восьмеричные числа. Например, преобразуем дробное двоичное число А 2 = 0, в восьмеричную систему счисления: Двоичные триады Восьмеричные цифры 6 5 Получаем: А 8 = 0,65 8.

Десятичная система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках. Пример 1. Способ образования десятичного числа Для десятичной системы соответствия между позицией и весом следующее В общем случае

Шестнадцатеричная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является хорошо подготовленный пользователь – специалист в области информатики. В такой форме представляется содержимое любого файла, затребованное через интегрированные оболочки операционной системы, например, средствами Norton Commander в случае MS DOC. Используемые знаки для представления числа – десятичные цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита – A, B, C, D E, F. В шестнадцатеричной системе счисления основа – это цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 с соответствующими обозначениями 0, 1,2 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D E, F. Примеры чисел : 17D.EC, F12A

Применение восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления используются для более компактного изображения двоичной системы счисления, т. к. запись производиться меньшим числом знаков. В восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления используется больше цифр, чем в двоичной, поэтому запись одного и того же числа в этих системах будет короче чем в двоичной. N=2 (0,1). N=8 (0,1,2,3,4,5,6,7). N=16 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,B,С,D,E,F), где N – количество цифр.

Перевод целых чисел Целое число с основанием N 1 переводится в систему счисления с основанием N 2 путем последовательного деления числа An 1 на основание N 2, записанное в виде числа с основанием N 1 до получения остатка. Полученное частное вновь делится на основание N 2 ; процесс продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Полученные остатки от деления и последнее записывается в порядке, обратном полученному при делении. Сформированное число и будет являться числом с основанием N 2

Перевод дробных чисел Дробное число с основанием N 1 переводится в систему счисления с основанием N 2 путем последовательного умножения числа Аn 1 на основание N 2, записанное в виде числа с основанием N 1. При каждом умножении целая часть произведения берется в виде очередной цифры соответствующего разряда, а оставшаяся дробная часть принимается за новое множимое. Число умножений определяет разрядность полученного результата, представляющего число Аn 1 в системе счисления N 2.

Упрощенное правило перевода При переводе из двоичной системы счисления в восьмеричную (шестнадцатеричную) и наоборот, часто используют перевод триадами (тетрадами). При переводе одной цифре восьмеричной(шестнадцатеричной)системы счисления сопоставляется группа из 3-х (4-х) цифр двоичной системы счисления триада (тетрада).

Представление двоичных чисел и перевод их в десятичные Совершенно очевидно, что двоичное число представляется последовательностью нулей и единиц – разрядов. Как и в любой позиционной системе, каждому разряду присвоен определенный вес – показатель степени основания системы. Веса первых 10 позиций представлены в таблице 2. Тесты Тесты Таблица 2. Веса первых десяти позиций двоичной системы счисления Позиция Вес Образование

Преобразование десятичных чисел в двоичные Метод вычитания Из десятичного числа вычитаются наибольшая возможная степень двойки, в соответствующий разряд двоичного числа записывается единица, если разность меньше следующей степени двойки, то далее записывается нуль, а если больше записывается единица и опять производится вычитание, и так до тех пор, пока исходное число не уменьшится до нуля. В примере 3 рассматривается перевод десятичного числа в двоичное. Тест Тест Пример 3. Перевод десятичного числа в двоичное методом вычитания

Преобразование десятичных чисел в двоичные Допустим, дано двоичное число Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом: 1 * * * * * * 2 0 = 49

Преобразование двоичных чисел в десятичные Нужно перевести число ,101 2 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом: 1 * * * * * * * * * * 2 -3 = 90,625

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные Для перевода дробной части числа необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда Можно рассмотреть на примере. Переведем число 11101,111 из двоичной системы счисления в десятичную: = 2^4*1 + 2^3*1 + 2^2*1 + 2^1*0 + 2^0*1 = = 29 (целая часть) 111 = 2^(-1)*1 + 2^(-2)*1 + 2^(-3)*1 = (дробная часть) Ответ: 11101,111 2 = 29,875

Преобразование двоичных чисел в десятичные Т ребуется перевести двоичное число в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2: оснований изучаемых систем счисления (2, 8, 10, 16) = (1·2 7 )+(0·2 6 )+(1·2 5 )+(1·2 4 )+(0·2 3 )+(1·2 2 )+(1·2 1 )+(0·2 0 ) = = Из этого примера видно, в частности, что десятичная система счисления более компактно отображает числа - 3 цифры вместо 8 цифр в двоичной системе счисления. Для вычислений "вручную" и решения примеров и контрольных заданий вам могут пригодиться таблицы степеней оснований изучаемых систем счисления (2, 8, 10, 16).

Перевод из десятичной системы счисления в любую другую

Метод деления Другим методом является так называемый метод деления. Он применяется для преобразования целых чисел. Ниже приведен его алгоритм. Разделим нацело десятичное число на двойку. Если есть остаток, запишем в младший разряд единицу, а если нет – нуль и снова разделим результат от первого деления. Повторим процедуру так до тех пор, пока окончательный результат не обнулится – – – –9–92 08 –4–42 14 –2–22 02 –1– старший разряд ( ) 2 =(149) 10 ответ Пример 4 Перевод десятичного числа (149) 10 в двоичное методом деления

Метод умножения И, наконец, метод умножения. Метод применяется для преобразования десятичных дробей (чисел меньших единицы). Число умножается на 2, если результат 1, то в старший разряд записывается единица, если нет, то нуль. Умножаем на 2 дробную часть результата и повторяем процедуру. И так далее до получения нужной степени точности или до обнуления результата. Пример 5 Перевод десятичного числа (0,5635) 10 в двоичное методом умножения Тест Тест

Арифметические действия над двоичными Арифметические действия над двоичными числами Арифметика двоичной системы счисления основана на использовании таблиц сложения, вычитания и умножения. Эти таблицы чрезвычайно просты: 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1 Таблица умножения Таблица вычитания 0-0=01-0=1 1-1=0 10-1=1

Двоичное сложение Сложение двоичных чисел (101101) 2 и (111110) – поразрядная сумма без учета переносов – переносы – поразрядная сумма без учета повторных переносов – повторные переносы – окончательный результат

Двоичное вычитание Вычитание двоичных чисел (11010,1011) 2 и (1101,01111) 2 – 11010, , ,00111 Двоичное умножение Умножение двоичных чисел (101) 2 и (011) 2

Двоичное деление 1) 18:22) 14: =(9) ,1=(3,5)

Таблица переводов

Контрольные вопросы 1. Что называют системой счисления? 2. Какие системы счисления называют позиционными и непозиционными? 3. Какие системы называют двоичными, десятичными и шестнадцатеричными? 4. Как осуществляется упрощенное правило перевода? 5. Как осуществляется представление двоичных чисел и перевод их в десятичные?

Контрольные вопросы 6. Как осуществляется преобразование десятичных чисел в двоичные? 7. Как осуществляются арифметические действия над двоичными числами? 8. Как осуществляется двоичное умножение? 9. Как осуществляется двоичное деление? 10. Что служит алфавитом языка чисел?

Контрольные вопросы 11. Дайте определение восьмеричной системы счисления. 12. Как осуществить перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную? 13. Как осуществить перевод из десятичной системы счисления в любую другую? 14. Преобразование из восьмеричной системы счисления в десятичную?

Тесты 1. Преобразуйте число 149 из десятичной в двоичную систему A ( ) 2 B ( ) 2 A ( ) 2 B ( ) 2 К лекции лекции A ( ) 2 B ( ) 2 лекции C ( ) 2 D ( ) 2 C ( ) 2 D ( ) 2 2. Преобразуйте число 567 из десятичной в двоичную систему A ( ) 2 B ( ) 2 A ( ) 2 B ( ) 2 К лекции лекции A ( ) 2 B ( ) 2 лекции C ( ) 2 D ( ) 2 C ( ) 2 D ( ) 2 3. Преобразуйте число 27 из десятичной в двоичную систему A (10111) 2 B (11011) 2 К лекции A (10111) 2 B (11011) 2 К лекции C (10101) 2 D (11001) 2 C (10101) 2 D (11001) 2 4. Преобразуйте число 255 из десятичной в двоичную систему A ( ) 2 B ( ) 2 К лекции A ( ) 2 B ( ) 2 К лекции C ( ) 2 D ( ) 2 C ( ) 2 D ( ) 2

Тесты 5. Преобразуйте число 124 из десятичной в двоичную систему А ( ) 2 B ( ) 2А ( ) 2 B ( ) 2 К лекции К лекции А ( ) 2 B ( ) 2К лекции С ( ) 2 D ( ) 2 С ( ) 2 D ( ) 2 6. Преобразуйте число 363 из десятичной в двоичную систему А ( ) 2 B ( ) 2 К лекции А ( ) 2 B ( ) 2 К лекции С ( С ( ) 2 D ( ) 2 7. Преобразуйте число 155 из десятичной в двоичную систему А ( ) 2 B ( ) 2 К лекции А ( ) 2 B ( ) 2 К лекции С ( ) 2 D ( ) 2 С ( ) 2 D ( ) 2

Тесты 8. Перевести из двоичной системы счисления в десятичную число ,11 А В К лекцииА В лекции Б Г Перевести из восьмеричной системы счисления в десятичную число А А В Б Г Б Г Перевести из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную число 9fc4,f1 А В Б Г

Тесты Как представлено число 1510 в двоичной системе счисления? 1) ) ) ) Сколько нулей в двоичной записи числа 4810? 1) 52) 23) 34) Сколько единиц в двоичной записи числа 19510? 1) 52) 23) 34) 4 Как представлено число 10 2 в десятичной системе счисления? 1) 112) 33) 24) 5 Представьте число в десятичной системе счисления. 1) 112) 33) 94) 2 Как представлено число в десятичной системе счисления? 1) 172) 273) 234) 31

Тесты Перевести число 247 в двоичное Решение Решение А В Б Г

Решение Т ребуется перевести десятичное число 247 в двоичное. В соответствии с приведенным алгоритмом получим: : 2 = = 1, остаток 1 записываем в МБ двоичного числа : 2 = = 1, остаток 1 записываем в следующий после МБ разряд двоичного числа.6110 : 2 = = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.3010 : 2 = = 0, остаток 0 записываем в старший разряд двоичного числа.1510 : 2 = = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.710 : 2 = = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.310 : 2 = = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.110 : 2 = 010, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа. Таким образом, искомое двоичное число равно

Тесты Перевести двоичное число в восьмеричную систему счисления. Решение Решение А Б

Решение Пусть требуется перевести двоичное число в восьмеричную систему счисления. Для этого следует разбить это двоичное число на триады, начиная с младшего бита (МБ). Получим: Если старшая триада не заполнена до конца, следует дописать в ее старшие разряды нули, как в нашем случае. После этого необходимо заменить двоичные триады, начиная с младшей, на числа, равные им в восьмеричной системе: Таким образом, =

Дополнительная литература php php php po-informatike/item/11444/ po-informatike/item/11444/ po-informatike/item/11444/ po-informatike/item/11444/ html html chisel/ chisel/

Дополнительная литература html html html html html

Конец интерактивного курса

Правильный ответ

Неправильный ответ