Попова Ирина Николаевна Учитель математики МБОУ СОШ 96 г. Нижнего Новгорода Образование – высшее ГГПИ им. М. Горького Педагогический стаж – 28 лет Категория - первая Образование – высшее ГГПИ им. М. Горького Педагогический стаж – 28 лет Категория - первая

Алгебра 8 класс Квадратные уравнения Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров. Москва: «Просвещение», 2010 г. Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра. 7-9 классы. Составитель: Бурмистрова Т. А. Москва: «Просвещение», 2009 г.

Содержание Пояснительная записка Дидактические цели Ожидаемые результаты освоения темы Психолого-педагогическое объяснение специфики восприятия и освоения учебного материала учащимися в соответствии с возрастными особенностями Обоснование проекта Планирование Проект урока. Разложение квадратного трехчлена на множители Литература

Пояснительная записка Тема «Квадратные уравнения» занимает ведущее место в алгебре и математике в целом, так как создает базу для дальнейшего развития при изучении квадратичной функции и квадратных неравенств. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении алгебраических, иррациональных, тригонометрических и других видов уравнений, а также занимает важное место в заданиях ЕГЭ. К изучению квадратных уравнений учащиеся приступают уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом математических понятий и умений. Для темы характерна глубина изложения материала, логическая обоснованность, а также математическое моделирование многообразных процессов из различных областей науки и практической деятельности человека, большинство из которых сводится к решению различных видов уравнений, и чаще всего, квадратных. Актуальность этой темы заключается и в межпредметных связях. Квадратные уравнения используют при изучении геометрии, физики, астрономии, химии, черчения, трудового обучения.

Дидактические цели Познавательная: Формировать умения: - решать квадратные уравнения, - определять наличие корней по дискриминанту и коэффициентам, - создавать математические модели реальных процессов, Формировать знания: - о способах решения квадратных уравнений; - о приёмах устного решения квадратных уравнений. Развивающая: Развивать: - логическое и алгоритмическое мышление, - способность к контролю и самоконтролю, - стремление к творческому решению учебных и практических задач; - умение сравнивать, выявлять, обобщать закономерности. Воспитательная: Воспитывать: -трудолюбие, волю, настойчивость для достижения конечных результатов; - способность к преодолению трудностей; - отношение к математике как к части общечеловеческой культуры.

Ожидаемые результаты освоения темы В результате изучения темы «Квадратные уравнения» ученик должен знать (понимать): - как используются формулы корней квадратного уравнения; - примеры применения квадратных уравнений для решения математических и практических задач; уметь: - распознавать квадратные уравнения; - решать квадратные уравнения, а также уравнения, сводящиеся к ним; - решать дробно-рациональные уравнения; -исследовать квадратные уравнения по дискриминанту и коэффициентам; использовать знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни : - для выполнения расчетов по формулам; - для моделирования практических ситуаций.

Психолого-педагогическое объяснение специфики восприятия и освоения учебного материала учащимися в соответствии с возрастными особенностями У учащихся 8 классов ярко выражены различия в интеллектуальной деятельности. У одной группы учащихся развиваются стойкие интересы к отдельным предметам, стремление овладеть новыми знаниями и умениями по этим предметам. Для этой группы это период повышенного стремления к деятельности, возрастания познавательной активности и любознательности. Совершенно противоположная группа – это учащиеся с разбросанными или неопределенными интересами, с низким уровнем мотивации учебной деятельности, отсутствием познавательных интересов, ограниченным кругозором. Они не умеют организовывать свою учебную деятельность. Для изучения математики в 8 классе от учащихся требуется умение формулировать математические предложения, выделять их структуру, проводить дедуктивные рассуждения, выполнять логические операции, самостоятельно проверять правильность решения задачи, самостоятельно пользоваться учебником, грамотно вести записи в тетради по математике.

Обоснование проекта Выбор данного раздела обусловлен наличием богатого материала для реализации основных принципов педагогических технологий, применяемых на уроках: компьютерных технологий, технологии игры, проблемного обучения, развивающего обучения, традиционной классно- урочной технологии. Типы уроков при изучении темы разнообразны – это урок изучения нового, урок формирования знаний, умений, навыков, урок обобщения и систематизации знаний, урок проверки и оценке знаний, урок ключевых задач, комбинированный урок, урок игра. На этих уроках предполагается работа с современными средствами обучения, такими как компьютер, проектор. Для поддерживания мотивации учащихся необходимо использовать игровые моменты, занимательный материал, практико-ориентированные задачи. История развития математики формирует у школьников представление о математике как части общечеловеческой культуры. Элементы игры, включенные в уроки, оказывают влияние на познавательную активность, мыслительную деятельность школьника, создают дополнительные условия для появления радости успеха.

Планирование (23) 7. Уравнения, сводящиеся к квадратным (3) 8. Обобщающий урок (1) 9. Проверочная работа (1) 10. Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени (3) 11. Решение задач с помощью квадратных уравнений (3) 12. Обобщающий урок (1) 13. Контрольная работа (1) 1. Квадратное уравнение и его корни (1) 2. Неполные квадратные уравнения (2) 3. Метод выделения полного квадрата (1) 4. Решение квадратных уравнений (2) 5. Приведенное квадратное уравнение (2) 6. Теорема Виета (2)

Проект урока. Тип урока: урок ознакомления с новым материалом Задача, которую вы решаете, может быть очень скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы. Дьердь Пойа

Цели урока: формировать умения решать квадратные уравнения; научить раскладывать квадратный трехчлен на множители; развивать логическое мышление учащихся; воспитывать аккуратность, точность, внимание. Методы обучения: объяснительный, репродуктивный, проблемный, частично -поисковый. Формы обучения: индивидуальная, фронтальная, коллективная Средства обучения: компьютер, проектор, экран, доска, мел, таблицы

Структура урока: организационный момент; актуализация знаний; мотивация учебной деятельности; постановка целей и учебных задач урока; введение проблемной ситуации; ознакомление с новым материалом; первичное закрепление; постановка домашнего задания; подведение итогов урока

Ход урока: организационный момент сообщение темы урока актуализация знаний В ходе фронтального опроса учащиеся дают определение квадратного уравнения, применяют теорему Виета для нахождения корней приведенного квадратного уравнения. Учащиеся решают квадратные уравнения, обосновывая выбор разных формул для нахождения корней. мотивация учебной деятельности введение проблемной ситуации ознакомление с новым материалом. Еще одно назначение теоремы Виета – с ее помощью выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители.

первичное закрепление. Учащимся предлагается вернуться к уже решенным квадратным уравнениям и разложить квадратные трехчлены, стоящие в левой части уравнений на множители, а также сократить дробь, создавшую проблемную ситуацию. Квадратные уравнения нашли широкое применение при решении алгебраических уравнений, задач, квадратных неравенств, а так же в заданиях ЕГЭ, поэтому важно научиться устным приемам решения квадратных уравнений.

Проверь свои знания Дайте определение квадратного трехчлена. Многочлен вида ах 2 + bх + c, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, причем а 0. Как найти корни квадратного трехчлена? Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение. Что называют разложением многочлена на множители? Представление многочлена в виде произведения многочленов. Какие способы разложения многочлена на множители вам известны? 1. Вынесение множителя за скобку; 2. Способ группировки; 3. Использование формул сокращенного умножения.

Решите уравнение х 3 – 6 х 2 – 4 х + 24 = 0. (ГИА 2012). Решение: (х 3 – 6 х 2 ) – (4 х - 24 ) = 0; х 2 (х – 6 ) – 4(х - 6 ) = 0; (х 2 – 4 ) (х - 6 ) = 0; х 2 – 4 = 0 или х – 6 = 0; Ответ: -2; 2; 6

Разложить на множители 3 х 2 – 21 х + 30 Решение: 3 х 2 – 21 х + 30 = 3(х 2 – 7 х + 10) = 3(х 2 – 2 х – 5 х + 10) = 3((х 2 – 2 х) – (5 х – 10)) = 3(х(х – 2) – 5(х – 2)) = 3(х – 2)(х – 5). Гипотеза: ах 2 + bx + c = а(х – х 1 )(х – х 2 ).

Разложение квадратного трехчлена на множители Если х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0, то при всех х справедливо равенство ах 2 + вх + с = а(х – х 1 )·(х – х 2 ) Преобразуем выражение а(х-х 1 )(х-х 2 )=ах 2 -ах 1 -ах 2 +ах 1 х 2 = =ах 2 -ах(х 1 +х 2 )+ах 1 х 2 =ах 2 -ах(-в/а)+а·с/а=ах 2 +вх+с, т.к. х 1 и х 2 – корни уравнения ах 2 +вх+с = 0, то х 1 +х 2 =-в/а, х 1 х 2 =с/а ах 2 +вх+с=а(х-х 1 )(х-х 2 ) Пример: 2 х 2 -х-1=0 х 1 =1,х 2 =-0,5 2 х 2 -х-1=2(х-1)·(х+0,5)=(х-1)·(2 х+1)

Можно ли разложить квадратный трехчлен на множители, если он не имеет корней? Предположим, что квадратный трехчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени: ах 2 + bx + c = (kx + m)(px + q), где k, m, p, q – некоторые числа, причем k 0 и p 0. Найдите, при каких х произведение (kx + m)(px + q)= 0? При и Следовательно, при этих значениях х обращается в нуль и трехчлен ах 2 + bx + c, то есть числа и являются его корнями. Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет. Вывод: если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители

Применение теоремы: 457. Разложите на множители квадратный трехчлен: 3 х 2 – 24 х Сократите дробь: Домашнее задание: § 29(прочитать примеры 6,7). Решить 457(2-6) и 458 (2-6).

Рефлексия Учащимся предлагается заполнить карточки обратной связи: На уроке я работал активно /пассивно Своей работой на уроке доволен /не доволен Материал урока мне был понятен /не понятен Домашнее задание мне кажется легким/трудным

Вид работы С.р.1С.р.2С.р.3С.р.4С.р.5К.р. Кол-во учеников Получили «5» Получили «4» Получили «3» Получили «2» Качество знаний Уровень обуч-ти Сравнительный анализ проверочных и контрольных работ по теме: «Квадратные уравнения»

Литература 1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра 8. М.: Просвещение, Алгебра. Математические диктанты 7-9.автор- составитель А.С.Конте.Волгоград, Алгебра. Самостоятельные разноуровневые работы 8 класс. Составители: Т.Л. Афонасьева, Л.А.Тапилина, Волгоград, Глейзер Г.И. История математике в школе 7-8 классы. М.: Просвещение, Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников, учиться математике. М.: Просвещение, Епишева О.Б. Технологии обучения математике на основе деятельного подхода. М.: Просвещение, Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса. М.: Илекса, Звавич Л.И.. Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. Дидактические материалы. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение, Зив Б.Г., Гольдич В.А. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса. С.-Петербург, Кулеков Ю.М. Уроки математического творчества. М.: Просвещение, Личностно-ориентированный подход в педагогической деятельности. Под ред. Стенакова А.В. М. «Сфера», Максимова В.Н. Межпредметные связи в процессе обучения, М.: Просвещение, Манвелов С.Г. Конструирование современного урока математики. М.: Просвещение, 2005