Проект «Почему мы не пользуемся формулами Кардано?» Авторы: Воронина Елена,9 класс Кучков Кирилл, 11 класс Руководители: Парфенова Елена Витальевна, Топчиева Ольга Николаевна, учителя математики.

Актуальность Поиск алгоритма решения кубических уравнений

Предмет исследования Кубическое уравнение ax 3 + bx 2 + cx + d =0 x = y - (b / 3a) y 3 + py + q = 0

Историческая справка Кардано Тарталья

Кардано Кардано внёс значительный вклад в развитие алгебры: его имя носит формула Кардано для нахождения корней кубического неполного уравнения вида x 3 + ax + b = 0. Он же первым в Европе стал использовать отрицательные корни уравнений. В действительности Кардано не открывал этот алгоритм и даже не пытался приписать его себе. В своём трактате «Великое искусство» («Ars magna») он признаётся, что узнал формулу от Никколо Тартальи, пообещав сохранить его в тайне, однако обещание не сдержал и спустя 6 лет (1545) опубликовал упомянутый трактат. Из него учёный мир впервые узнал о деталях замечательного открытия. Кардано также включил в свою книгу ещё одно открытие, сделанное его учеником Лодовико (Луиджи) Феррари: общее решение уравнения четвёртой степени. Кардано также обнаружил, что кубическое уравнение может иметь три вещественных корня (этот факт остался незамеченным даже в трудах Омара Хайяма), причём сумма этих корней всегда равна коэффициенту при с противоположным знаком (одна из формул Виета). [3]формула Кардано ЕвропекорниуравненийНикколо Тартальи 1545Лодовико (Луиджи) Феррариуравнения четвёртой степени Омара Хайямаформул Виета [3] Прикладное значение формул Кардано было не слишком велико, так как к этому моменту математики уже разработали численные методы для вычисления корней уравнений любой степени с хорошей точностью; один из таких расчётных алгоритмов («метод двойного ложного положения») разработал и подробно изложил в «Великом искусстве» сам Кардано. Однако открытие нового теоретического метода, неизвестного ни грекам, ни арабам, воодушевило математиков Европы. Оно также стало основой для введения одного из важнейших математических объектов комплексных чисел. Продолжателем исследований итальянской школы алгебраистов стал Рафаэль Бомбелли.грекамарабамкомплексных чисел Рафаэль Бомбелли В историю криптографии Кардано вошёл как изобретатель несложного шифровального устройства, получившего название «решётка Кардано» (квадрат с вырезанными клетками). Опубликована также (посмертно) его «Книга об игре в кости» исследование по математической теории азартных игр. Это один из первых серьёзных трудов по комбинаторике и теории криптографии решётка Карданокомбинаторикетеории

Таталья В оставленных Тартальей сочинениях он рассматривает не только вопросы математики, но и некоторые вопросы практической механики, баллистики и топографии. Так, в первом из его сочинений, «Nuova scienza» (1537), он впервые рассматривает вопрос о траектории выпущенного снаряда, причём утверждает, что траектория эта на всём её протяжении есть кривая линия, между тем как до него учили, что траектория снаряда состоит из двух прямых, соединённых кривой линией.1537 Вместе с вопросами артиллерии Тарталья занимался также и вопросами укрепления городов и фортификацией вообще и в сочинении «Quesiti et invenzioni diverse» (1546) он предлагает даже особую систему фронта, он трактует также о топографической съёмке с помощью буссоли и излагает историю открытия им решения кубических уравнений. В сочинениях «La travagliata invenzione» и «Ragionamenti sopra la Travagliata invenzione» (оба 1551 г.) говорится о разных изобретениях автора, которые он приписывает себе, но все они уже изложены в 1550 г. в книге Кардано «De subtilitate» и принадлежат последнему Кардано Наиболее обширное сочинение автора называется «Generale trattato de numeri e misure» ( ); в нём подробно рассматриваются многие вопросы арифметики, алгебры и геометрии алгебры геометрии По словам Тартальи, он самостоятельно открыл общий алгоритм решения кубических уравнений, несколько ранее найденный Сципионом дель Ферро. В 1539 году Тарталья передал описание этого метода Дж. Кардано, который поклялся не публиковать его без разрешения Тартальи. Несмотря на обещание, в 1545 году Кардано опубликовал этот алгоритм в работе «Великое искусство», и по этой причине он вошёл в историю математики как «формула Кардано».алгоритм кубических уравнений Сципионом дель Ферро 1539 году Дж. Кардано 1545 году формула Кардано Вопрос о том, действительно ли Тарталья независимо открыл метод дель Ферро, неоднократно обсуждался [1]. Высказывалось предположение, что на самом деле Тарталья каким-то образом получил доступ к записям дель Ферро. В качестве косвенных доказательств этой гипотезы историки ссылались на то, что других серьёзных математических достижений у Тартальи не было. Однако прямых свидетельств в пользу указанного предположения найти не удалось. [1]

Формула Кардано

Проблема Годится ли формула для решения кубического уравнения к практическому применению ?

Гипотеза Можно предположить, что формулы громоздки, неудобны для запоминания, а вычисления по ним занимают много времени. Также можно предположить, что можно предложить иные универсальные пути для решения кубических уравнений.

Проверка гипотезы Попробуем применить эту формулу к решению конкретных уравнений: Пример 1 Пример 2 Пример 3

Пример 1 x 3 +6x – 2 = 0 p = 6; q = -2

Пример 2 x3+3x – 4 = 0

Пример 3 (x + 1)(x + 2)(x-3)=0 x 3 -7x-6=0

Исследование функции f(x)=x 3 +px+q f(x)=3x 2 +p p>0 p

Схематическое изображение графика функции: x x x Y Y Y

Сколько решений имеет уравнение: -одно решение -три решения

Сколько решений имеет уравнение: -одно решение -три решения

Вывод Формула Кардано неприспособленна для практического решения кубических уравнений. Формула дает ответ на классический вопрос о «разрешимости уравнений третьей степени в радикалах».

Спасибо за внимание!