Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 1 г.Ершова Саратовской области» Решение комбинированных уравнений методом мини-максов Лепёхин Г.Н. - учитель математики, высшая квалификационная категория

«Внешние» признаки применения метода мини-максов. Наличие в одном уравнении функций различной природы: алгебраических, тригонометрических, показательных или логарифмических и т.п.. Иногда оценка одной из частей уравнения может быть сделана, исходя из очевидных соображений, или диктуется непосредственно видом этой части, тогда следует попытаться получить противоположную оценку для другой части уравнения

Основа метода мини-максов - определение ограниченных функций Функция f(x) называется ограниченной сверху, если существует такое число А, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство f(x) А. Функция f(x) называется ограниченной снизу, если существует такое число А, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство f(x) А. Функция, ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной

Суть метода метода-минимаксов для решения уравнений Пусть требуется решить уравнение f(x) =g(x). Если на общей области определения функций f(x) и g(x) выполняются неравенства f(x) А и g(x) А (f(x) А и g(x) А), то данное уравнение равносильно системе

Пример 1. Решая уравнение, выясняем, что, Тогда, Решая первое уравнение, получим. Проверкой устанавливаем, что является корнем и второго уравнения. Значит - корень исходного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение Решение. Запишем уравнение в виде. Оценим функцию в левой части уравнения: Функция - возрастающая, -наименьшее значение функции,.

Пример 2. ( Продолжение) Оценим функцию в правой части уравнения: Оценка функций в левой и правой частях уравнения позволяет сделать вывод, что данное уравнение равносильно системе уравнений:

Пример 2. ( Продолжение) Решая первое уравнение, получим два корня: Проверим, являются ли они корнями и второго уравнения: Ответ: 2.

Наиболее часто используемые для оценки базовые неравенства. 1. Неравенство Коши Оценка суммы двух взаимообратных чисел: 5.

Заключение. Неравенств очень много и их можно использовать при решении уравнений методом мини-максов. Но заучивать их выпускникам нет необходимости. Эффективнее научить выпускников находить множество значений (область значений) функций. Эти знания понадобятся для других заданий по теме «Функция». Практическое применение свойств функции позволит обобщить и систематизировать знания о свойствах различных функций.