лекция 9 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности – Медицинская кибернетика к.б.н., доцент Попельницкая И.М. Красноярск, 2014 Тема: Определенный интеграл. Приложение определенного интеграла. Кафедра медицинской и биологической физики

План лекции 1. Значение темы. 2. Понятие определенного интеграла. 3. Основные свойства определенного интеграла. 4. Формула Ньютона-Лейбница. 5. Простейшие способы интегрирования: по формулам; методом замены переменной; 6. Приложения определенного интеграла.

Значение темы Понятие определенного интеграла широко используется в математике и прикладных науках. С его помощью вычисляют площади, ограниченные кривыми, длины дуг, объемы тел произвольной формы, работу переменной силы, скорость, путь, моменты инерции тел.

Определенный интеграл Выражение: называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b]. Определенный интеграл - число, значение которого зависит от вида подынтегральной функции и значений верхнего и нижнего пределов интегрирование. Число a называют нижним пределом интегрирования, а b -верхним пределом интегрирования.

Понятие определенного интеграла. y х 0 =а х 1 х 1 х 2 х 2 хn=bun=b x C n-1

Свойства определенного интеграла: Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций, заданных на отрезке [a,b], равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций

Свойства определенного интеграла: Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

Свойства определенного интеграла: Если поменять местами пределы интегрирования, то знак определенного интеграла изменится на противоположный:

Свойства определенного интеграла: Если пределы интегрирования равны между собой, то определенный интеграл равен 0:

Свойства определенного интеграла: Если точка с - принадлежит отрезку [a,b], то выполняется свойство аддитивности определенного интеграла:

Свойства определенного интеграла: Если подынтегральная функция на отрезке интегрирования сохраняет постоянный знак, то интеграл – это число того же знака, что и подынтегральная функция.

Свойства определенного интеграла: Если а

Формула Ньютона – Лейбница. Позволяет вычислить определенный интеграл, используя его связь с неопределенным интегралом :

Вычислить интеграл: 1 2 = 1 2 =

Вычислить интегралы: 0 π/2 =

Вычислить интеграл: 0 π/2 =

Замена переменной в определенном интеграле (подстановка). Например вычислить интеграл: = 4 2 =

Определить путь, пройденный телом за первые 10 с после начала движения, если v=8t

Вычисление площадей плоских фигур Вычислить площадь фигуры, заключенной между осью Ох, осью Оу и функцией =

Заключение На лекции было рассмотрено понятие определенного интеграла. Изучены основные свойства определенного интеграла. Рассмотрены основные методы интегрирования и вычисление площадей с использованием определенного интеграла.

Литература Обязательная 1. Богомолов Н.В. Математика. Учебник М.: Юрайт, с. 2. Богомолов Н.В. Практические занятие по математике: учеб. пособие. М.: Юрайт, с Дополнительная 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Дрофа, Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики: учебное пособие. М.: Астрель, Щипачев В.С.Высшая математика. Учебник М.: Оникс Виленкин И.В.Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов: учебное пособие Ростов-на-Дону Феникс 2008 Электронные ресурсы: 1. Электронная библиотека Absotheue 2. БД Медицина 3. БД Мед Арт 4. Ресурсы Интернет

Задание для уяснения темы. Вычислить интеграл: