Лекция 3 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности 060609 – Медицинская кибернетика к.б.н., доцент Попельницкая И.М. Красноярск, 2014 Тема: Непрерывность. - презентация

1 лекция 3 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности – Медицинская кибернетика к.б.н., доцент Попельницкая И.М. Красноярск, 2014 Тема: Непрерывность функции. Кафедра медицинской и биологической физики

2 План лекции 1.Введение. 2. Непрерывность функции. 3. Классификация точек разрыва функции. 4.Заключение

3 Введение Понятие непрерывности имеет большое значение при анализе характера изменения величин, связанных функциональной зависимостью. При анализе функций, в некоторых случаях необходимо определить точки разрыва и оценить возможность их устранения.

4 Непрерывность функции Пусть функция f(x) определена на некотором множестве Е и х 0 – предельная точка множества Е. Функция f(x) называется непрерывной в точке х 0, если: 1. Она определена в точке х 0 2. Существует конечный предел функции при х х Этот предел равен значению функции в точке х 0.

5 Основные элементарные функции непрерывны

6 Функцию f ( x ) называют непрерывной на отрезке [ a ; b ], если она непрерывна в каждой точке интервала ( a ; b ) и, кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b.

7 Теорема Вейерштрасса. Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ], то она ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

8 Теорема Коши. Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [ a ; b ] имеется хотя бы один нуль функции f(х). При этом, если функция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь один раз.

9 Свойства функций, непрерывных в точке Если функция f(х) непрерывна в точке a, то она ограничена в некоторой окрестности точки a. Если функция f(x) непрерывна в точке a, то в некоторой окрестности точки a все значения функции положительны или отрицательны вместе с f(a). Если f(x), g(x) - непрерывны в точке a, то функции: f(x)+g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) непрерывны в точке a.

10 Разрыв функции Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, быть может, за исключением самой этой точки. Точка a называется точкой разрыва, если функция: 1)либо не определена в точке a; 2)либо определена, но не является непрерывной в точке a.

11 Причины разрыва функции: функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы

12 Причины разрыва функции: функция не определена в данной точке.

13 Точки разрыва функции: Точка устранимого разрыва; Точка разрыва первого рода; Точка разрыва второго рода.

14 Точки разрыва функции: Точка а является точкой устранимого разрыва, если функция в точке не определена и существуют равные конечные пределы и, То есть.

15 Точки разрыва функции: Точка а является точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы и, т.е. выполняется второе условие непрерывности и не выполняются остальные условия или хотя бы одно из них.

16 Точки разрыва функции: Точка а является точкой разрыва второго рода, если один из пределов или равен бесконечности ( ).

17 заключение На лекции мы познакомились с причинами разрыва функции и оценкой разрывов различного рода.

18 Задание для уяснения темы 1. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х 0, если: 1)функция определена в точке х 0 и в ее некоторой окрестности; 2)предел приращения функции равен нулю при стремлении аргумента к нулю 3)

19 Литература Обязательная 1. Богомолов Н.В. Математика. Учебник М.: Юрайт, с. 2. Богомолов Н.В. Практические занятие по математике: учеб. пособие. М.: Юрайт, с Дополнительная 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Дрофа, Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики: учебное пособие. М.: Астрель, Щипачев В.С.Высшая математика. Учебник М.: Оникс Виленкин И.В.Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов: учебное пособие Ростов-на-Дону Феникс 2008 Электронные ресурсы: 1. Электронная библиотека Absotheue 2. БД Медицина 3. БД Мед Арт 4. Ресурсы Интернет

20 Благодарю за внимание!