Под дифференцированием функции f(x) понимают нахождение её производной. Под дифференцированием функции f(x) понимают нахождение её производной. Например: (х 4 )' =4 х 3 Например: (х 4 )' =4 х 3 Нахождение функции f(x) по заданной производной f '(x) называют операцией интегрирования. Нахождение функции f(x) по заданной производной f '(x) называют операцией интегрирования. Например: пусть f(x)= 4 х 3. Найти F(х). Например: пусть f(x)= 4 х 3. Найти F(х). F(х) =х 4, т. к. (х 4 )' =4 х 3 F(х) =х 4, т. к. (х 4 )' =4 х 3

Признак постоянства функции Если F´ (x) = 0 на заданном промежутке, то данная функция постоянна на этом промежутке

Геометрический смысл первообразной График любой первообразной F (x) + С можно получить с помощью параллельного переноса графика F (x) вдоль оси y. Для нахождения конкретной первообразной из всего множества F (x) + С, надо задать дополни- F (x) + С, надо задать дополни- тельные условия. Например: координаты точки, через которую проходит график данной первообразной проходит график данной первообразной

Основное свойство первообразных

Таблица первообразных Функция У = f (x) 012Cx x2x2x2x2 x3x3x3x3 X n 1 x x2 x2 1 1 x2 x2 Первоо- бразная F (x) Cx2xCx X2X2 2 2X2X X3X3 3 3X3X X4X4 4 4X4X X n+1 n+1 n+1 2 x _ 1 x Функция У = f (x) cos x sin x 1 cos 2 x 1 sin 2 x Первоо- бразная F (x) sin x - cos x tg x - ctg x

Таблица первообразных

Три правила нахождения первообразных

Криволинейная трапеция Пусть на координатной плоскости дан график положительной функции у = f (x), определённой на отрезке [a ; b]. Криволинейной трапецией ABCD называется фигура, ограниченная графиком функции у = f (x), прямыми х = а и х = b и осью абсцисс (осью х).

Площадь криволинейной трапеции Теорема: Если у = f (x) непрерывная неотрицательная функция на отрезке [a ; b], а F(x) - первообразная для f (x) на этом отрезке, то S площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a ; b], т.е. то S площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a ; b], т.е. S = F (b) –F (a) S = F (b) –F (a)

Упр 1. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x)=х 2, прямыми y=0, х=1 и х=2. Ответ: