Математический анализ – изучает методы дифференциального и интегрального исчислений. Дифференцирование - нахождение производной (дифференциала) и применение. - презентация

1

2 Математический анализ – изучает методы дифференциального и интегрального исчислений. Дифференцирование - нахождение производной (дифференциала) и применение к исследованию функций. Знаю функцию можно увидеть её поведение (график) Интегрирование - действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово integro означает – восстановление. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то можно восстановить функцию.

3 Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 - первообразная для f(х)=3 х 2 Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно. В качестве f(х) можно взять f(х)= х 3 +1 f(х)= х 3 +2 f(х)= х 3 -3 и др. Т.к.производная каждой из них равно 3 х 2. Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3 +С, где С - любое постоянное действительное число.

4 Основное свойство первообразной функции. Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число. Геометрический смысл основного свойства первообразной. Графики всех первообразных функции f(x) получаются из любого из них параллельным переносом вдоль оси Oy (рис. 1).

5 Задача 1. Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех. Решение: Sin х - одна из первообразных для функции f (х) = cos х F(х) = Sin х+С –множество всех первообразных. F 1 (х) = Sin х-1 F 2 (х) = Sin х F 3 (х) = Sin х+1

6 Задача 2. Для функции f (х) = 2 х найти первообразную, график которой проходит через т.М (1;4)

7 Задача 3. Будет ли функция первообразной для на интервале ?

8 Таблица первообразных Функция f(х)Первообразная F(х) ККх + С Х n (n-1, n-целое число)+с 2 +С - + С + С tg х + С - сtg х + С + С 2

9 Три правила нахождения первообразных 1. Если F есть первообразная для f(x), а G – первообразная g(x), то F+G есть первообразная для f+g. Пример 1: Найти общий вид первообразных для функции f(x)= х 3 + соs x, то F(х) = sin x +С 2. Если F есть первообразная для f(x), а k – постоянная, то kF есть первообразная для kf(х). Пример 2: Найти общий вид первообразных для функции f(x)= 3 sin x, то F(x) = 3 (-cos x) + C = -3cos x + C 3. Если F(х) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем то есть первообразная для f(kх+b) Пример 3: Найти общий вид первообразных для функции f(x)=sin (3x-2), то F(x)=