ЛЕКЦИЯ Множества Элементы логики

М НОЖЕСТВА

П ОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА Понятие множества используют для описания совокупности некоторых предметов или объектов, обладающих определенным набором свойств. Предметы одной совокупности могут отличаться друг от друга и от предметов другой совокупности. Объекты множеств - элементы этих множеств. A, B, C,... – множества a, b, c,... - элементы множеств а А - a - элемент множества A а А - a не является элементом множества A 3

5 R ; -10 Z ; 0,5 N Виды множеств Конечные - множества, содержащие определенное число элементов. Бесконечные - множества, содержащие бесконечное число элементов. Пустое - множество, не содержащее ни одного элемента. 4

С ПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ 1. Перечисление элементов множества M = {2, 3, 5, 7} или M = {7, 3, 2, 5} 2. Характеристическое свойство Множество A состоит из элементов x, обладающих свойством p: A = {x: x p(x)}. Множество четных натуральных чисел, которые больше 2, но меньше 20. A = {x: x=2k, k N, 2 k 9} 5

Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. x A x B A = B A = {5, 6, 7}; B = {6, 7, 5} => A = B Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A. b B => b A B A (В включено в А) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B = {2, 4, 6} => B A 6

B не является подмножеством A, если в B найдется хотя бы один элемент, не принадлежащий A. B A A = {1, 2, 4, 6}; B = {2, 4, 6} => A B Свойства: 1. A A 2. A 7

Ч ИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА Числовые множества - множества, элементами которых являются числа. Натуральные числа - числа, используемые при счете предметов или при нумерации объектов. 1, 2, 3,..., n,... образуют множество натуральных чисел N = {1, 2, 3,..., n,...} Натуральные числа, им противоположные и 0 образуют множество целых чисел. Z = {0, 1, 2,..., n,...} 8

9

Ч ИСЛОВЫЕ ПРОМЕЖУТКИ a, b R, a < b 1. [ a, b ]={ x R: a

О ПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ Объединением (суммой) нескольких множеств называется множество, содержащее те и только те элементы, которые входят хотя бы в одно из данных множеств. А В = {х | х А или х В} Пусть A и B непустые множества. Найти A B B C А В=C 11

B A C B A А В=C А В=A A A = A, A = A для А 12

3 х 24 1 a). Пусть A = [1; 3], B = [2; 4), найти A B. A B = [1; 4) 13

0 х -63/2 8 3 х b). Пусть A = ( 6; 8), B = [0; 3/2], найти A B. A B = ( 6; 8) с). Пусть A = ( 10; 5]; B = [3; 7). Найти A B. A B = ( 10; 5] [3; 7) 14

П ЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ Пересечением (произведением) нескольких множеств называется множество, содержащее те и только те элементы, которые входят в каждое из данных множеств. C = A B А В = {х | х А и х В} Пусть A и B непустые множества. Найти A B А В= B A 15

B A C B A А В=C А В=B A A = A, A = для А 16

-2 х х 515 a). Пусть A = ( ; 2], B = ( 7; 4]. Найти A B. A B = ( 7; 2] b). Пусть A = (5; + ), B = [10; 15]. Найти A B. A B = [10; 15] 17

c). Пусть A = (- ; 0), B = [1; + ). Найти A B. 1 х 0 A B = 18

Р АЗНОСТЬ МНОЖЕСТВ Разностью множеств A и B называется множество C, состоящее из тех и только тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B. С= A \ B А \ В = { х | х А, х В } Пусть A и B непустые множества. Найти A \ B А \ В=A B A 19

B A C B A C А \ В=C 20

-2 х х 515 a). Пусть A = ( ; 2], B = ( 7; 4]. Найти A \ B. A \ B = ( ; 7] b). Пусть A = (5; + ), B = [10; 15]. Найти A \ B. A \ B = [5; 10) (15; + ) 21

c). Пусть A = (- ; 0), B = [1; + ). Найти A \ B. 1 х 0 A \ B = (- ; 0) 22

B A C 23

0 х 15 х 10 24

А ЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА U - универсальное множество, т.е. все рассматриваемые объекты, являются его элементами. 25

ПРИМЕР В ходе исследования преступности из документов были собраны данные о судимости 1400 отобранных человек. Из них 1250 в прошлом совершили кражи, 952 – убийства. Не совершали этих преступлений 60 человек. Сколько человек совершали и кражи, и убийства? Решение: U – множество всех осужденных человек (основное множество); А – множество человек, в прошлом совершивших кражи => m(A)=1250; В – множество человек, в прошлом совершивших убийства => m(B)=952; 26

27 B A Е

Э ЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ

Логическое умножение (конъюнкция, &, Λ, И) – соединение двух (нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и». 29 АВF=A&B

Логическое сложение (дизъюнкция, ˅, ИЛИ) - объединение двух (нескольких) высказываний в одно с помощью союза «или». 30 АВF=AVB

Логическое отрицание (инверсия,, НЕ ) – присоединение частицы «не» к высказыванию. 31 АF=Ā 01 10

Логическое следование (импликация, =>, ) - соединение двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если..., то...». 32 АВF=AB

Логическое равенство (эквивалентность,, ) - соединение двух высказываний в одно с помощью оборота «...тогда и только тогда, когда...». Приоритет логических операций: действия в скобках, инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. 33 АВF=AB

О СНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЛОГИКИ 34 Название закона Формулировка Переместительный A V B = B V A; A Λ B = B Λ A Сочетательный (A V B) V C = A V (B V C) (A Λ B) Λ C = A Λ (B Λ C) Распределительный A V (B Λ C) = (A V B) Λ (A V C) A Λ (B V C) = (A Λ B) V (A Λ C) Непротиворечия Исключение третьего Двойное отрицание Законы де Моргана

С ВОЙСТВА 35

36 1. Найти С при А=1, В=0 С = АVАVBVĀ&(Ā&B) = 1V1V0V0&(0&1) = = 1V1V0V0&0 = = 1V1V0V0 = = 1V0V0 = = 1V0 = 1 2. Высказывание А - «Алгебра логики изучает высказывания»; высказывание В - «Сумма углов треугольника равна 180° ». Конъюнкцией этих высказываний (А В) является предложение...

1. «Алгебра логики изучает высказывания, и сумма углов треугольника равна 180°» 2. «Алгебра логики изучает высказывания, или сумма углов треугольника равна 180°» 3. «Если алгебра логики изучает высказывания, то сумма углов треугольника равна 180°» 4. «Алгебра логики изучает высказывания тогда и только тогда, когда сумма углов треугольника равна 180°» 37

Пример : Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун сказал, что преступники были на синем «Бьюике»; Джонс сказал, что это был черный «Крайслер», Смит утверждал, что это был «Форд» и ни в коем случае не синий. Стало известно, что желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо ее цвет. Какого цвета был автомобиль и какой марки? 38

Р ЕШЕНИЕ : 39

40