Преподаватель: Филипенко Николай Максимович доцент кафедры Высшей математики и математической физики ТПУ Тема : Определенный интеграл - приложения. - презентация

1 Преподаватель: Филипенко Николай Максимович доцент кафедры Высшей математики и математической физики ТПУ Тема : Определенный интеграл - приложения

2 Приложения определенного интеграла Вычисление площадей

3 Вычисление площадей плоских фигур

4 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Строим фигуру.Для решения задачи воспользуемся формулой где Значениеопределилось по построению Значение получим, решая систему Искомая площадь

5 Рассмотрим вычисление площади фигуры, границы которой заданы параметрический В таких случаях в интеграле для вычисления площади делается замена переменной Формула принимает вид Таким образом, под знак интеграла подставляем выражение для, находим дифференциал второй функции, а также необходимо знать пределы изменения переменной

6 4. Найти площадь петли кривой Строим кривую по таблице значений. При вычислении площади используем симметрию области Изменениюотдо соответствует изменение параметра от до

7 Вычисление объемов тел вращения Вращение вокруг оси OX

8 1. Найти объем тела вращения вокруг оси фигуры, ограниченной линиями Для нахождения объема воспользуемся формулой В нашем случае Находим пределы интегрирования из условия Тогда

9 Вращение вокруг оси OY

10 2. Найти объем тела вращения вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями Для нахождения объема воспользуемся формулой Пределы интегрирования находим из равенства

11 4. Найти объем тела вращения вокруг оси фигуры, ограниченной линиями При нахождении объема тела вращения по формуле придется решать интеграл что не очень просто Воспользуемся формулой Интеграл решали по частям:

12 Приложения определенного интеграла Вычисление длин кривых

13 Найти длину части астроиды от значения до длину дуги вычисляем по формуле Кривая задана параметрический, поэтому Причем параметр должен меняться от меньшего значения к большему Предварительно находим Так каки положительны в первой четверти, получим

14 4. Вычислить длину дуги кривой: Вычисление длин кривых

15 Несобственный интеграл I рода 3. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

16 Несобственный интеграл II рода

17 Исследование на сходимость Сходится, следовательно, и исходный интеграл сходится Расходится, следовательно, и исходный интеграл расходится