ПЛАНИМЕТРИЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ 7-9 классы 10-11 классы ГЕОМЕТРИЯ на плоскости ГЕОМЕТРИЯ в пространстве «планиметрия» – наименование смешанного происхождения: - презентация

1

2 ПЛАНИМЕТРИЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ 7-9 классы классы ГЕОМЕТРИЯ на плоскости ГЕОМЕТРИЯ в пространстве «планиметрия» – наименование смешанного происхождения: от греч. metreo – измерять и лат. planum – плоская поверхность (плоскость) «стереометрия» – от греч. stereos – пространственный (stereon – объем). Школьный курс ГЕОМЕТРИИ

3 Учебный материал 10 класса по геометрии ЧТО БУДЕМ ИЗУЧАТЬ В 10-м КЛАССЕ Аксиомы стереометрии Параллельность прямых и плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей Многогранники

4 Основные понятия стереометрии точка, прямая, плоскость, А Т М m = (РКС) Р К С

5 Аксиомы стереометрии А-1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна Р К С = (РКС)

6 Аксиомы стереометрии А-2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. С М m М, C m М, C m, Еслито

7 Аксиомы стереометрии А-3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. М m М, М, М m m, m = m

8 СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ Т-1 Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну. m м А В Дано: М m Так как М m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой. По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость плоскость (ABM), Обозначим её. Прямая m имеет с ней две общие точки точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости.. Таким образом, плоскость проходит через прямую m и точку M и является искомой. Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость, проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости и проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость единственна. Теорема доказана Доказательство Пусть точки A, B m.

9 СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ Т-2 Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. N м m n Дано: m n = M Доказательство Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М. Рассмотрим плоскость =(n, N). Так как M и N, то по А-2 m. Значит обе прямые m, n лежат в плоскости и следовательно, является искомой Докажем единственность плоскости. Допустим, что есть другая, отличная от плоскости и проходящая через прямые m и n, плоскость. Так как плоскость проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью. Единственность плоскости доказана. Теорема доказана

10 1. Любые три точки лежат в одной плоскости. 2. Любые четыре точки лежат в одной плоскости. 3. Любые четыре точки не лежат в одной плоскости. 4. Через любые три точки проходит плоскость и при том только одна. 5. Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. 6. Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. 7. Если прямые не пересекаются, то они параллельны. 8. Если плоскости не пересекаются, то они параллельны. В стереометрии мы будем рассматривать ситуации, задающие различные расположения в пространстве основных фигур относительно друг друга Определите: верно, ли суждение? ДА НЕТ

11 Пользуясь рисунком, назовите: четыре точки, лежащие в плоскости SAB, в плоскости ABC; плоскость, в которой лежит прямая MN, прямая КМ; прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC; плоскости SAC и CAB.

12 Пользуясь рисунком, назовите: 1) плоскости, содержащие прямую DE, прямую EF; 2)прямую, по которой пересекаются плоскости ACB и SBC, SBC и SAC; 3) плоскости, в которых лежит прямая SB; AC.

13 Пользуясь рисунком, назовите: 1) плоскости, содержащие прямую В1С; прямую АВ 2) прямую, по которой пересекаются плоскости В1CD и AСD; плоскости ADC1 и ABD; 3)плоскость, не пересекающуюся с прямой CD1; с прямой ВС1.

14 Верно ли утверждение: Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна А В С

15 Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М? Дано: a А М В b c Докажите, что Пусть Т.к., то по Т2 Т.к. и,то по А2

16 m B 49

17 50 m

18 51 m n Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны

19 51 m n k H

20 5252 А С В

21 B2B2 C1C1 C2C2 B1B1 A2A2 A1A1 O = = _ _ ^ ^

22 А В С Д M P N S=48 54

23 55 m

24 56 m A

25 57 m

26 63 Y A A1A1 A2A2 B1B1 B2B A 1 A 2 =2A 1 A

27 63 б Y A A1A1 A2A2 B1B1 B2B x AA 2 =3\2A 1 A 2

28 64 А1А1 С2С2 С1С1 В2В2 В1В1 А2А2

29 65 А1А1 С2С2 С1С1 В2В2 В1В1 А2А2

30 Тетраэдр и параллелепипед

31 А В С Д

32 АВСД -ТЕТРАЭДР-ПОВЕРХНОСТЬ, СОСТАВЛЕННАЯ ИЗ ЧЕТЫРЕХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Точки А,В,С,Д- ВЕРШИНЫ Отрезки АВ, ВС, СА, ДА, ДВ, ДС РЕБРА Треугольники АВС, ДАВ, ДВС, ДАС - ГРАНИ А В Д вершины ребра грани С

33 ОПРЕДЕЛЕНИЕ : ДВА РЕБРА ТЕТРАЭДРА, НЕ ИМЕЮЩИЕ ОБЩИХ ВЕРШИН НАЗЫВАЮТСЯ ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ Контрольные вопросы Что такое тетраэдр? Сколько вершин, ребер, граней имеет тетраэдр, назовите их Назовите противоположные ребра тетраэдра А В С Д

34 Параллелепипед

35 А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 А В Д С

36 ОСНОВАНИЕ А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 ВЕРШИНА ТОЧКА РЕБРО ОТРЕЗОК БОКОВАЯ ГРАНЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ДВЕ ГРАНИ ИМЕЮЩИЕ ОБЩЕЕ РЕБРО НАЗЫВАЮТСЯ СМЕЖНЫМИ, НЕ ИМЕЮЩИЕ ОБЩИХ РЕБЕР ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ Две вершины не принадлежащие одной грани называются противоположными Отрезок,соединяющий противоположные вершины диагональ ДИАГОНАЛЬ ОСНОВАНИЕ

37 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 ТЕОРЕМА 1 Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны

38 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 ТЕОРЕМА 2 Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения пополам о

39 А В С Д А1А1 В1В1 Д1Д1 ТЕОРЕМА 2 Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения пополам о

40 А В С Д А1А1 В1В1 Д1Д1 ТЕОРЕМА 2 Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения пополам о

41

42 А В С Д 66

43 А В С Д

44 A C D A D B D B C

45 А В С Д 6868 M N

46 S В С A 69 D P

47 А В С Д М 70 Е

48 А В С Д М K О N 71

49 А В С Д М 71 A Е

50 А В С Д М Е

51 D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 M N 87 A

52 D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 M 87

53 D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 86

54 D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 M 85 K L

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65 70

66 А В С Д М Р О

67 А В С Д М Р

68 А В С Д М Р О

69 А В С Д М Р

70 А В С Д М Р

71 D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 M

72 D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 M

73 D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 M

74 D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 M

75 D1D1 A B C D A1A1 B1B1 C1C1 M

76 М А В С М А В С Д Е

77 Cамостоятельная работа по теме «Сечения»

78 ВАРИАНТ 1 задача 1 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

79 ВАРИАНТ 1 задача 2 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

80 ВАРИАНТ 1 задача 3 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

81 А В С Д М В 1 задача 5 Е

82 А В С Д М Е Т В 1 задача 6

83 А В С Д М Е Т

84 ВАРИАНТ 2 задача 1 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

85 ВАРИАНТ 2 задача 2 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 М

86 ВАРИАНТ 2 задача 3 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 М Р К H

87 ВАРИАНТ 2 задача 4 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 S T R

88 А В С Д М В 2 задача 5 Е

89 А В С Д М В 2 задача 6 Е

90 А В С Д М В 2 задача 7 Е H

91 Устные упражнения по теме «Сечения»

92 А В С Д М Е К

93 А В С Д М Е H

94 А В С Д М Е Т

95 А В С Д М Е

96 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

97 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

98 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

99

100

101

102

103

104

105 Перпендикулярность прямой и плоскости

106 Определение Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой лежащей в плоскости А а р а

107 а в х Теорема Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна плоскости а а в в Сформулируйте обратное утверждение

108 а в х Теорема Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны а в в а

109 Признаук перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна двум пересекающим прямым,лежащим в плоскости, то она перпендикулярна плоскости а А А1А1 Р Q L l q p m

110 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 Дано ВАД= а

111 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 116 б 90

112 А С Д В М N Дано ВС АД Доказать М N АД 117

113 А М О В С Д 118

114 А О Д В С = = 119 а Дано АО=ОД Доказать: АВ=ВД

115 А О Д В С А О Д В С = = 119 б Дано ОВ=ОС Доказать АВ=АС

116 119 в О Д В С Дано АВ=АС Доказать: ОВ=ОС А = =

117 О К = в А В С Д а 120

118 О = в А В С Д а К

119 С А В = = М 6 8 К 12 ? 121

120 А С В Д = = = 16 3 ? ? 122

121 163 А В С К О 12

122 а а, = 123

123 Р1Р1 Q1Q1 РQ 124

124 Р1Р1 Q1Q1 Р 15 21,5 33,5 Q ? 125

125 В А С М д 126

126 В С А Д 127

127 Д А В С О М 129

128 А ВС Д О М 128

129 Д А В С М 90 m n n о 130

130 А В С Д М = = 131

131 А В С φ d ? ? 138 а

132 138 б А В С φ ? ? m

133 139 А В С Д = =

134 139 б А В С Д ==

135 А О С В 60 1, А С = = ?

136 А В Н С М 6 ? 141

137 А В 1 см 4 см М ? 142

138 143 М А В С = = = Д 4 4 4

139 А В С Д а в

140 147 А В С Д М наукл пр наук л пр АМД МСД 90

141 148 А В С К М == пер наук пр 90

142 149 А В С Д М = = пер наук пр

143 150 С К наукл пр наукл пр 90 В А Д ? ?

144 А В С Д 151 н

145 152 А В С Д F наукл пр наук л пр 90 О 8 4

146 А В С Д 9 10 = = 13 М

147 155 А В 2 7 = = 4 4 М1М1 90 С М

148 156 А В М 90 С Д m φφφ φ n

149 А В С Д О Н Н1Н1 К 4,

150

151 3 4 5 S=6 2,5 ОН=6 X=1,2 1,2 А В С Д О Н

152 ,5 25 А В С Д 158

153 159 С М В Д А К

154 160 А В В1В1 А1А1 13 5

155 161 В А С Д М

156 163 а А М Н 45 d = =

157 163 б А М Н 60 d 30

158 163 в А М Н 30 d

159 А М Н d 164 d

160 А В С d Н 165

161 В С Н 60 М d 3

162 А В С Д 66

163 А В С Д

164 А В С Д 68 м N Доказать МN = (ВСД )

165 В С Д 70 М Р К Доказать (МРК) (ВСД) А =

166 71 А В С Д М N К Е Н

167 А В С Д 72(а) М Е О

168 А В С Д 72(б) М Е О

169 А В С Д М N Р К

170 А В С Д 74 Е О М К

171 L N K 7575 М Е О A F

172 7676 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

173 78 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 М М1М1 N N1N1 = = = =

174 79 а АВ СД А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

175 79 б А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1

176 80 АВ СД А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 ОО1О1

177 81 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 М N Р Е

178 82 аб А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 М

179 82 в А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 М

180 ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ

181 А Н М Отрезок АН- ПЕРПЕНДИКУЛЯР Отрезок АМ- НАКЛОННАЯ Точка Н- основание перпендикуляра точка М основание науклонной АН проекция расстояние от А до

182 А Н расстояние между параллельными плоскостями А1А1 Н1Н1

183 а а = А Н АН -расстояние от А до

184 А А1А1 АА 1 А 1 –ПРОЕКЦИЯ А НА А В А1А1 В1В1 Проекция АВ НА

185 А В С А1А1 В1В1 С1С1 А 1 В 1 С 1 - проекция АВС НА

186 А В С В1В1 А В 1 С - проекция АВС НА

187 ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ ПРЯМАЯ, ПРОВЕДЕННАЯ В ПЛОСКОСТИ ЧЕРЕЗ ОСОВАНИЕ НАКЛОННОЙ,ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО К ЕЕ ПРОЕКЦИИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО И САМОЙ НАКЛОННОЙ

188 Н А М а

189 ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ ПРЯМАЯ, ПРОВЕДЕННАЯ В ПЛОСКОСТИ ЧЕРЕЗ ОСОВАНИЕ НАКЛОННОЙ,ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО К ЕЕ ПРОЕКЦИИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО И САМОЙ НАКЛОННОЙ ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА Прямая,проведенная в плоскости через основание науклонной и перпендикулярно ей, будет перпендикулярна и ее проекции

190 Угол между прямой и плоскостью это угол между прямой и ее проекцией А М Н - угол между прямой АМ и плоскостью

191 С Д ребро грань А М К АМК –линейный угол двугранного АСДК АМСД, КМСД

192 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными,если угол между ними равен 90 Признаук перпендикулярности плоскостей Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости,то такие плоскости перпендикулярны

193 Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости,то такие плоскости перпендикулярны В АС АВ Э Д

194 2. Все двугранные углы прямые. Прямой параллелепипед- основания- параллелограммы,боковые ребра перпендикулярны основанию Прямоугольный параллелепипед- основания-прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны основанию В прямоугольном параллелепипеде 1. Все шесть граней прямоугольники

195 КУБ Прямоугольный параллелепипед у которого все три измерения равны называется кубом. Грани куба –равные квадраты

196 Теорема. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений АС 1 = АВ + АД +АА А В С Д Д1Д1 С1С1 В1В1 А1А1 Следствие. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны а в с d d = а + в + с 2222 d = 3 а КУБ 2 2

197 166 А МN В С пер н пр

198 Самостоятельная работа задача 1 вариант 1 А МN В С ? С А В 63 ?

199 Самостоятельная работа задача 1 вариант 2 А МN В С ? С А В 52 ?

200 167 = = = = = А С В Д М Доказать ДМВ- л.у ВАСД

201 168 А МN В С пер н пр d А СВ d

202 169

203 170 С В В1В1 МА пер н пр

204 Прямая СД перпендикулярна плоскости прямоугольного треугольника АВС, с прямым углом С. Найти 1) ДМ, где точка М середина АВ 2) Докажи,что прямая ДН АВ, где СН высота треугольника АВС 3)Найди ДН,если 1 ВАРИАНТ 2 ВАРИАНТ АС=8 СВ=6 СД=2 5 СВ=4 САВ=60 СД= 2 2

205 А В С А В С А В С т т т

206 А В С А В С А В С 4 6 2

207 А В С А В С А В С

208 А В С А В С А В С

209 171 А В С == 30 М Н ? 2Х Х 2 2Х

210 172 АС В Н ?

211 173 А В Д С = = = ДАСВ ДАВС ВДСА М

212 174 А В Д С = = АВСД 5 2 пер н пр 53

213 175 А В С ДДАСВ ДАВС ДСВА САДВ М К

214 а а а 60 а 3 2

215 а а 3 2 а 3 2 Д В М

216 А ВС Д Н М 43 45К Н В К А В К

217 АВ У 177

218 178 а с А С В ас а

219 179 В А С Д пер

220 180 а с

221 182 М с А В С

222 184 А В Д С 10 5 М АВ Д М

223 189 т А1А1 d ? А

224 190 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 К

225 191 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1

226 192 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 а а а 2 а

227 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 193 d т п ? ?

228 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 194 а а а а М

229 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 а а а 194 б

230 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 19 6

231 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 а 196

232 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 196 б

233

234 А ВС Д ЕМ А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 Е1Е1 М1М1 Н Н1Н1 Основания- многоугольники Боковые грани параллелограммы Боковые ребра высота Многогранник, составленный из двух равных многоугольников, РАСПОЛОЖЕННЫХ В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ и п параллелограммов называется призмой

235 Площадь полной поверхности призмы это сумма площадей всех ее граней Площадь боковой поверхности призмы это сумма площадей всех ее боковых граней S полн = S бок + 2S осн

236 Прямая призма- боковые ребра перпендикулярны основаниям (боковое ребро является высотой) S БОК = Р ОСН Н Н

237 Правильная призма это прямая призма, у которой основания правильные многоугольники Боковые грани – равные прямоугольники

238 219 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д

239 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д

240 8 6 А В С А1А1 В1В1 С1С1 А1А1 В1В1 С

241 222 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д

242 223 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 А1А1

243 224 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д

244 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 30 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 225 х х 2Х Х 2

245 226 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 М н пр 22 О

246 227

247 228 А В С А1А1 В1В1 С1С

248 229 а А В С А1А1 С1С1 В1В

249 229 б А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 12 8

250 в

251 230 А В С А1А1 С1С1 В1В

252 231 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 А1А S=

253 232 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1 d

254 233 А В С А1А1 С1С1 В1В1 27Д12

255 234 А В С А1А1 С1С1 В1В M R

256 А В С М tqC= R

257 235 А В С А1А1 С1С1 В1В1 Д

258 a h1h1 h2h2 S БОК = Р СЕЧ а 236

259 24 М12 35 К Р 238

260

261 А1А1 А2А2 А3А3 АnАn Р вершина основание Боковое ребро Боковая грань- треугольник Н высота апофема А4А4 Плоский угол при вершине Угол между боковым ребром и плоскостью основания двугранный угол при основании

262 Площадь полной поверхности пирамиды это сумма площадей всех ее граней Площадь боковой поверхности пирамиды это сумма площадей ее боковых граней S полн = S бок + S осн Пирамида называется правильной если ее основание правильный многоугольник и вершина проекти- руется в центр основания

263 r R AnAn A1A1 A2A2 A3A3 Боковые ребра правильной пирамиды равны. Боковые грани- равные равнобедренные треугольники Двугранные углы при основании равны ДОКАЗАТЬ! Р S БОК = 2 Р ОСН Н 1 а Н а - апофема На На

264 ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК а P R r S /2 9 3/ /4

265 КВАДРАТ а P R r S /

266 Устно ПРАВИЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА а hHaPA rR

267 r=1,5 А В С Р О М ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА R= ,25

268 r R A4A4 A1A1 A2A2 A3A3 Р На На Устно ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА r=3r=3 О h h=4 Найти а, На R S осн S БОК РА 1 а

269 r R A4A4 A1A1 A2A2 A3A3 Р На На Устно ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА а=4 2 О h h=4 Найти На r R S осн S БОК РА 1 а

270 А В С Д О К P угол между РС и плоскостью основания РСО= 45 - двугранный угол при основании СРД= 45 РКО РСО

271 А В С Д О К P

272 ПРАВИЛЬНАЯ ТРЕХУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА аhHaPA rRS бок S пол н

273 В правильной n-угольной пирамиде известна сторона основания- а и высота пирамиды- h Найдите 1)боковое ребро 2) апофему 3)площадь боковой и полной поверхности 4)угол между боковым ребром и плоскостью основания 5) двугранный угол при основании 6)плоский угол при вершине В классе Дома 1) n=3 a=4 h=5 2) n=4 a=2 h=3 2) n=6 a=6 h=4 1) n=3 a=4 3 h=6 2) n=4 a=4 2 h=4 2) n=6 a=4 h=5

274 r А В С Р О М R 4 5 1

275 А В С Д О К P 3 4 2

276 6 4 А В Р О С Н Д

277 А В С Д О Р

278 А В С Д О К P

279 А В С Д О Р S=360 М К

280 241 А В С Д О К 3

281 242 А В С Д М х х х 2

282 243 А В С Д 9 5М 12

283 А В С Д

284 245 А В С Д М х 2 х

285 А В С Д О Р Р Д

286 А В С Д О Р Р Д 247

287 248 r А В С М О К

288 А В С Д О Р 249 Р Д

289 250 А В С Д М 16 45

290 А В С Д 251

291 Правильные многоугольники а R r S P 1) а=3 2) а=2 3 3) а=4 4) а=4 3 R= 3, R=2 R= 4/ 3 R= 4 r= 3/2 r=1 r=2/ 3 r=2 S=9 3/4 S=3 3 S=4 3 S=12 3 R r а

292 Основанием пирамиды ДАВС является равнобедренный треугольник АВС АВ=АС, известно что боковые ребра пирамиды равны Найти высоту пирамиды,если Вариант 1 ВС=12 АВ=10 ДС= 20 Вариант 2 ВС=6 В=30 ДА=20 Основанием пирамиды является треугольник АВС.Каждая боковая грань науклонена к плоскости основания под углом 45 Найти площадь боковой поверхности пирамиды ДАВС, если стороны треугольника АВС Вариант 1 Вариант 2 13, 14, 15

293 r А В С Д О М ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА R

294 А В С Д О ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА ? 5 Найти 1)боковое ребро 2)угол между боковым ребром и плоскостью основания 3) апофему 4) площадь поверхности 5) двугранный угол при основании 5) плоский угол при вершине А С Д

295 А В С Д О ? М а Н К 254

296 А В С Д О М 255 8

297 8 А Д С 44 2

298 А В С Д О Р 256 Р Д т

299 ЦИЛИНДР

300 А В С Д ОБРАЗУЮЩАЯ (ВЫСОТА) ОСНОВАНИЕ О О1О1 ОСЬ М РАДИУС ОСНОВАНИЯ Боковая поверхность

301 А В С Д О О1О1 СЕЧЕНИЕ ПРОХОДЯЩЕЕ ЧЕРЕЗ ОСЬ ЦИДИНДРА- ОСЕВОЕ СЕЧЕНИЕ (ПРЯМОУГОЛЬНИК две стороны –диаметр основания, две другие образующие) М Р Н К ОСЕВОЕ СЕЧЕНИЕ АВСД ОСЕВОЕ СЕЧЕНИЕ МНРК S ос сеч = 2RH=dH

302 Если секущая плоскость проходит перпендикулярно оси цилиндра, то сечением является круг

303 Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон А В С Д

304 Развертка цилиндра А В С Д 2ПR H S БОК = 2ПRH S=2ПRH+ 2ПR 2

305 522 А В С Д О ? О ? Найти высоту, радиус основания, площадь основания 30 24

306 Найти высоту, площадь основания А В С Д О ? О ? 523

307 Осевые сечения цилиндров равны. Равны ли высоты? 524

308 Площадь осевого сечения цилиндра 10 м площадь основания- 5,найти высоту цилиндра м 2

309 S осн S ос. сеч = 3П3П 4 Найти 1) угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания 2)Угол между диагоналями осевого сечения А В С Д 1 2

310 А В С Д М О О1О1 r h d а

311 10 8 C В О М

312 А В С Д М О О1О1 r 6 d б

313 12 10 ? А В К ОАВ О К 6 530

314 10 ? 9 В К О

315 12 C В О М 9

316 А1А1 А В1В1 В С С1С1 2r 532

317 А1А1 А В1В1 В С С1С1 2r S h d 533

318 А1А1 А В1В1 В С h d S cеч-? 534

319 АВ С d О О М

320 А1А1 А М В С С1С Scеч-? 535

321 АС В 2 60 О М 30 О

322 S А1А1 А В1В1 В С С1С1 S 536

323 537 1 м h=C Найти S БОК

324 538 S БОК= S Найти S OC.CЕЧ

325 539 1,5 м 3 м на 1 м -200 г 2

326 540 Высота цилиндра на 12 больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288П Найдите радиус основания и высоту цилиндра х Х+12

327 см 4 м

328 542 S осн = S Найти S бок

329 543 C=2ПR Найти S бок S полн d

330 544 d Найти Sосн C=2ПR d 2

331 545 а а h=а r=a

332 524 A B C D a b b r=a a r=b

333 КОНУС

334 Р О вершина конуса высота основание образующие ось

335 а в

336 Осевое сечение

337 Сечение перпендикулярное оси А В С М Д О

338 l a S=Пl a S=Пrl

339 l r Sб=ПrlSб=Пrl S = П r ( l + r)

340 Усеченный КОНУС

341 А В С М Д О

342 О О1О1 образующая высота основание

343 О О1О1

344 О О1О1 а в h m S б = П (R+r) l

345 А В С О 8 ?

346 548 А В С О

347 549 8 А В С О ?

348 А В С М Д О 550

349 551 2r2r 2r2r 2r2r 2r2r

350 552 h А В С О ? 60 90

351 553 S=6 А В С ОS=8 ?

352 А В С М K H 45 60

353 А В С М Д О 557 O1O1 D1D1

354 l a

355 l A B C H

356 A B C

357 562 А В С О 6,5 45

358 563 А В С О 1,2 S=0,6

359 564 А В С О p a a

360

361 A D B H m m p 566

362 О О1О A B

363 О О1О A B

364 О О1О1 A B R r 45K r R-r 569

365 А В С М Д О S б =80 570

366 A B D C

367 О О1О A B м = 150 г 2 572

368 Сфера и шар

369 Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки Центр сферы М О ОМ –радиус сферы

370 О А В М 573

371 О А В М 574 а

372 О А В М 574 б

373 О А В М 574В

374 О А В М 574 г а в

375 О R r О1 R d

376 О R r 580 d 41 9

377 О R r О1 d 581 А В С

378 О R r О1 d 582 А В С 10 Д 8 АС=16

379 А С В О 5 О

380 А С В О 10 О1 583 D А С В О1О1 D AC=20 BD= ,5 К К

381

382

383

384

385

386

387

388

389

390

391

392

393

394

395

396

397 Самостоятельная работа по теме «Объем»

398 Найти объем куба V=a

399 Найти объем куба V=a 3 3 d = 3a =3a a =9 a=3 v=27 2 2

400 Найти объем прямоугольного параллелепипеда V = S осн h = abh

401 Найти объем прямоугольного параллелепипеда V = S осн h = abh

402 Найти объем прямоугольного параллелепипеда V = S осн h = abh

403 Найти объем прямоугольного параллелепипеда V = S осн h = abh S СЕЧ =

404 Найти объем прямоугольного параллелепипеда V = S осн h = abh 2 сечение квадрат

405 Найти объем прямоугольного параллелепипеда V = S осн h = abh

406 Найти объем прямоугольного параллелепипеда V = S осн h = abh

407 А В С Д О К P Найти объем правильной пирамиды V= S осн h 1313

408 А В С Д О К P Найти объем правильной пирамиды V= S осн h

409 А В С Д О К P Найти объем правильной пирамиды V= S осн h

410 А В С Д О К P 3 2 Найти объем правильной пирамиды V= S осн h

411

412 Найти объем правильной пирамиды V= S осн h 1313 А В С D О

413 Найти объем правильной пирамиды V= S осн h 1313 А В С D О

414 Найти объем правильной пирамиды V= S осн h 1313 А В С D О

415 А В С Д О К P Найти объем пирамиды у которой равны боковые ребра, основание прямоугольник V= S осн h

416 А В С D О 6 Найти объем пирамиды у которой углы между боковыми ребрами и плоскостью основания равны 45, основание прямоугольный треугольник с катетами 6 и

417 А В С D О 1212 Найти объем пирамиды у которой углы между боковыми ребрами и плоскостью основания равны 45, основание равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой

418 А В С D О 2 Найти объем пирамиды у которой углы между боковыми ребрами и плоскостью основания равны 30, основание равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой

419

420

421

422

423

424

425

426 ПЛАНИМЕТРИЯ

427 «Не знающий геометрии да не войдет сюда». Геометрия учит доказывать, а речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы.

428 А В Q R Р А В Р Q R а аааааааааа

429 А В С 2

430 В С 3 А 1 случай

431 А 3 2 случай

432 4 А В С Д

433 4 А В С Д

434 5 А В МQ N R S P

435 6 А В С а

436 7 А В С Д

437 ЛУЧ A Точка А разделяет прямую а на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О Точка А -начало луча В С О М а Луч ОМ Луч а

438 Угол А В С Угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки Лучи АВ и АС – стороны угла Точка А - вершина угла

439 Угол А В С ВАС или САВ или А к а ак

440 А В С1С1 Внутренняя область угла Внешняя область угла А В С М F G Р К

441 А Развернутый угол обе стороны лежат на одной прямой А - развернутый

442 А В С Д Луч АД делит АВС на два угла ДАС АВД и

443 8 A В С

444 9 А В О ВОА к h m

445 10 a a a s d sad

446 11 h k hk kl hl l

447 12 А В С М G К h k

448 14 А В Д O C

449 15 A S D E N

450 Биссектриса угла –луч, исходящий из вершины и делящий его на два равных угла А В С Д Луч АД делит АВС на два равных ДАС АВД угла = АД-биссектриса АВС

451 1717 О А В С ОВ < ОА ОС > ОА ОВ < ОС

452 18 A BO = = О - середина АВ АО=ОВ

453 A B С = = ДЕ = = 20 Середина отрезка АС - точка В АЕ - точка С СЕ- точка В Отрезок серединой которого является точка Д - СЕ точка С - АЕ, ВД

454 21 В С А О АОВ АОС >

455 22 h k hk kl hl l = >

456 30 Дано: АС-отрезок В АС АВ=7,8 см ВС=25 мм=2,5 см Найти АС А С В 7,8 см 2,5 см Решение АС=АВ+ВС АС=7,8+2,5 =10,3( СМ ) Ответ : 10,3( СМ )

457 31(а) Дано: АС-отрезок В АС АВ=3,7 см АС=7,2 см Найти ВС А С В 3,7 см ? Решение 7,2 см

458 31(б) Дано: АС-отрезок В АС АВ=4 мм АС=4 см=40 мм Найти ВС А С В 4 мм ? Решение 40 мм

459 32 Дано: а-прямая А,В,С а АВ=12 см ВС=13,5 см Найти ВС А С В 12 см 13,5 см Решение 1 случай А С В 12 см 13,5 см 2 случай а а

460 33 Дано: а-прямая М,В,Д а ДВ=7 см МД=16 см Найти ВМ М Д В 16 см 7 см 1 случай В М Д 7 см 16 см 2 случай а а

461 34 Д С В 64 см А 32 см 15 см Дано: АВ -отрезок С-середина АВ Д СА АВ=64 см СД=15 см Найти ВД и ДА Решение

462 35 Дано: М,С,Т а МС=650 км МТ=170 км Найти ВС М С Т 170 км ? Решение 650 км

463 А С В 3 см 4 см 5 см неверно С В А 36

464 37(а) А В С О 2 см Дано: С середина АВ О –середина АС АВ=2 см Найти АС,СВ,АО,ОВ 1 см 0,5 см 0,5 см Решение

465 37(б) А В С О 6,4 см 3,2 м 1,6 см 1,6 см Дано: С середина АВ О –середина АС СВ=3,2 м Найти АВ,АС,АО,ОВ

466 38(а) А В О 12 см 9 см Дано: А,О,В а О АВ М середина АО К –середина ОВ АО=12 см ОВ=9 см Найти: МК М К 6 4,5

467 38(б) А В О Дано: А,О,В а О АВ М середина АО К –середина ОВ АО=12 см ОВ=9 см Найти: МК М К 12 см 6 см 6 см 9 4,5

468 38 А В С О а М

469 40 А ВС О 28 см М Д 16 см

470 А Развернутый угол обе стороны лежат на одной прямой А - развернутый А =180 Виды углов

471 Развернутый угол обе стороны лежат на одной прямой Угол называется прямым, если он равен 90 Угол называется острым, если он меньше 90 Угол называется тупым, если он больше 90 М М =90 А<90 А D D>90

472 А В С Д Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов

473 А В С Д Луч АД делит АВС на два угла ДАС АВД и АВС = АВД + ДАС

474 47 А В Е О АОВ = АОЕ + ЕОВ АОВ = = 121 АОВ=12 37* * =121 2* Дано: а) АОЕ=77 ЕОВ=44 б) АОЕ=12 37 ЕОВ= Найти: АОВ /

475 47 А В С О х Дано: а) АОВ=78 АОС < ВОС на 18 Найти: АОВ х+18

476 49 А В О С Дано: а) АОВ=155 АОС > ВОС на 15 Найти: АОC х х+15 Решение х+15+х=155 2)70+15=85 - АОС 2 х= х=140 х=70 Ответ: АОС=85

477 50 А В С х 3 х О Дано: АОС=78 АОВ=3 ВОС Найти: АОВ 50

478 51 30 А В С Д М Р О

479 52 U Y X Z V O XOZ-?

480 53 h k h hl – прямой или тупой ? l l= kl

481 Смежные углы Определение : два угла у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением одна другой называются смежными ТЕОРЕМА : сумма смежных углов равна 180 А О С В

482 Вертикальные углы Определение :два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого Теорема: вертикальные углы равны

483 Перпендикулярные прямые А С В Д Определение : две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла

484 Перпендикулярные прямые Теорема: две прямые перпендикулярные третьей не пересекаются А А1А1 В1В1 В Р Q АА 1 PQ ВВ 1 PQ АА 1 ВВ 1

485 54 В А О Д

486 56 В А С 111 М Дано: 1) АВС=111 2) АВС=90 3) АВС=15 Найти СВМ смежный с АВС

487 61 h k h l k < kl на 40 1) 2) hk > kl на 120 3) hk > kl на ) hk=3 kl 5) hk: kl=5:4 xx+40

488 А О В Д С

489

490 Дано: 1+ 3=

491 65(2) Дано: =

492 Найти:

493 68 O F A D B C 50 E

494 69 A P Q a

495 70 A a b d e

496 50

497

498

499

500

501

502

503

504

505

506

507

508

509

510

511

512

513

514 Устные упражнения

515 а А В С Д

516 а А С В Е К

517 а в m n

518 F а

519 А1А1 АВ С Д В1В1 С1С1 Д1Д1

520 А В С Д а а

521 АВСДЕ