Конечные геометрии Казарин Алексей, ученик 9 класса гимназия 2 г. Самары. - презентация

1 Конечные геометрии Казарин Алексей, ученик 9 класса гимназия 2 г. Самары

2 Цель исследования: установить, существует ли числовая модель плоскости, состоящей из конечного числа точек Для этого необходимо ответить на следующие вопросы: Какова система аксиом конечной плоскости? Как выглядит числовая модель минимальной плоскости? Как перенести эту конструкцию на общий случай? Из скольких точек может состоять конечная плоскость?

3 Из пяти Евклидовых аксиом оставим группу соединения и параллельности: 1. Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая; 2. Для каждой прямой и не принадлежащей ей точки существует одна и только одна прямая, проходящая через эту точку и не пересекающая этой прямой (т.е. параллельная ей); 3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой Оказывается, что эта группа аксиом допускает много реализаций и среди них и такие, которые, в резком противоречии с нашей интуицией, имеют лишь конечное число точек и прямых. Рассмотрим одну из них!

4 Возьмем 4 точки: A, B, C, D. Они образуют 6 «прямых»: AB, DC; AD, BC; AC, BD. (мы разделили точкой с запятой семейства параллельных прямых). Попытаемся оцифровать эту «плоскость». Применим следующую конструкцию: обозначим через Ч и Н свойства целого числа быть четным или нечетным и определим действия сложения и умножения над символами Ч и Н по аналогии с тем, как ведут себя четность и нечетность при сложении и умножении. Например, положим Ч + Н = Н и т.д. Результаты можно выразить в таблицах сложения и умножения, изображенных на рис. 3 и 4. Пара величин Ч и Н с определенными так действиями будет служить нам для введения координат на «плоскости» рис. 1. Для этого присвоим точкам координаты (X,Y): А – (Ч, Ч), В – (Ч, Н), С – (Н, Ч), D – (Н, Н). Легко проверить, что прямые определяются при этом линейными уравнениями: AB : HX = Ч;CD : HX = H;AD : HX + HY = Ч; BC : HX + HY = H;AC : HY = Ч;BD : HY = H, Притом это единственные непротиворечивые линейные уравнения, которые можно образовать при помощи двух величин Ч и Н. рис. 1 рис. 2 рис. 3 Числовая модель минимальной плоскости

5 Возьмём больше точек... Для этой конструкции все числа нужно делить уже не на два, а на три множества: U, V иW - числа, сравнимые с нулём, единицей и двойкой по модулю три соответственно - и каждая из девяти точек задаётся парой этих элементов, а прямые - всевозможными линейными уравнениями с такими коэффициентами. Таблицы сложения и умножения будут аналогичными предыдущему случаю, хотя и несколько сложнее.

6 F p F p F p Конечные поля Легко проверить, что конструкции, описанные на двух предыдущих слайдах, удовлетворяют всем аксиомам поля. Теперь можно взглянуть на них с другой точки зрения. Ведь обычная евклидова плоскость есть набор упорядоченных пар элементов поля вещественных чисел. А наши конечные плоскости, получается, - это набор упорядоченных пар чисел из конечного поля. Значит, на конечной плоскости может быть в точности k 2 точек, где k - количество элементов выбранного конечного поля. А конечное поле, как известно, может состоять из p n точек, где p - некоторое простое число (такие числа называются примарными). Таким образом, количество точек на конечной плоскости всегда равно квадрату некоторого примарного числа. F p F p F p F p