С ИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир. И.- В. Гете. - презентация

1 С ИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир. И.- В. Гете

2 Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа,. Алфавит системы счисления - совокупность цифр. Общие сведения Древнеславянская система счисления Вавилонская система счисления Египетская система счисления

3 Н АИБОЛЕЕ УПОТРЕБЛЯЕМЫМИ В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ ПОЗИЦИОННЫМИ СИСТЕМАМИ ЯВЛЯЮТСЯ : 1 единичная (как позиционная может и не рассматриваться; счёт на пальцах, зарубки, узелки «на память» и др.); 2 двоичная или бинарная (в дискретной математике, информатике, программировании); [binary, bin, b] 3 троичная; 4 четверичная; 5 пятеричная; 8 восьмеричная; [oct] 10 десятичная (используется повсеместно); 12 двенадцатеричная (счёт дюжинами); 16 шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике); [0x1A, 1Ah, #1A, $1A, hex] 60 шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).

4 Узловые числа обозначаются цифрами. Узловые и алгоритмические числа Алгоритмические числа получаются в результате каких- либо операций из узловых чисел =

5 Системысчисления позиционные непозиционные V V Vримская Унарная система счисления Зарубки

6 Простейшая и самая древняя система - так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек. Унарная система счисления Узелковое письмо «кипу» Зарубки Примеры узлов «кипу» Узелки, дощечки Камушки

7 Римская система счисления 1I100C 5V500D 10X1000M 50L 40 = XL 1935 MCMXXX 28 XXVIIIV Непозиционная система счисления Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

8 8 Римская система счисления Правила: (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!) Примеры: MDCXLIV = – – = = M M C C C L X X X I X M CCCLXXXIX = 1644

9 Р ИМСКАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Перевести в десятичную СС: Задание 1. CCXXXII =….? Задание 2. MCMXCVIII =…? Задание 3. MMVIII =…? Задание 4. MMMDCDXCVIII =…?

10 10 Перевести в Римскую СС: Задание = Задание = Задание = Задание =

11 11 Позиционные системы Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): разряды сотни десятки единицы = 3· · ·10 0 Другие позиционные системы: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) двадцатеричная (1 франк = 20 су) шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

12 Цифры сложились в Индии около 400 г. н. э. Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г. н. э. Примерно в 1200 г. н. э. эту нумерацию начали применять в Европе. Десятичная система счисления

13 П ОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Устно заполните таблицу для позиционных систем счисления со следующими основаниями (n): Осно вание Название Алфавит n=10 десятичная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 n=2 двоичная n=3 n=8 n=16

14 П ОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Заполните таблицу для позиционных систем счисления со следующими основаниями (n): Осно вание Название Алфавит n=10 десятичная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 n=2 двоичная 0, 1 n=3 n=8 n=16

15 П ОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Заполните таблицу для позиционных систем счисления со следующими основаниями (n): Осно вание Название Алфавит n=10 десятичная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 n=2 двоичная 0, 1 n=3 троичная 0, 1, 2 n=8 n=16

16 П ОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Заполните таблицу для позиционных систем счисления со следующими основаниями (n): Осно вание Название Алфавит n=10 десятичная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 n=2 двоичная 0, 1 n=3 троичная 0, 1, 2 n=8 восьмеричная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 n=16

17 П ОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Заполните таблицу для позиционных систем счисления со следующими основаниями (n): Осно вание Название Алфавит n=10 десятичная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 n=2 двоичная 0, 1 n=3 троичная 0, 1, 2 n=8 восьмеричная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 n=16 шестнадцатеричная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

18 П ОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Чтобы однозначно определить, в какой системе счисления рассматривается число, к нему приписывают основание системы в виде нижнего индекса: , , 3B8F 16, 212 3, …

19 П ОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Чтобы однозначно определить, в какой системе счисления рассматривается число, к нему приписывают основание системы в виде нижнего индекса: , , 3B8F 16, 212 3, … Укажите минимальное основание системы счисления, в которой может существовать данное число: Задание 9. Укажите минимальное основание системы счисления, в которой может существовать данное число: 219; 1000; 212; 507; BEDA; 10А ? 219; 1000; 212; 507; BEDA; 10А ?

20 П ОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Рассмотрим правила записи чисел в десятичной системе счисления – любое число есть сумма степеней числа 10 (основания системы): = 2* *10 +7= =2* * * = 1* * * * *10 0 Задание = …? 1009, = …?

21 П ОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Рассмотрим правила записи чисел в двоичной системе счисления – любое число есть сумма степеней числа 2 (основания системы): = 1*4 + 0*2 +1= =1*2 2 +0*2 1 +1* = 1* * * * *2 0 Задание = …? 100, = …?

22 П ОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ = 1* * * * *8 0 Задание = …? 102,444 6 =

23 Системы счисления 23 Домашнее задание 1.§ 3.1- ВЫУЧИТЬ 2. Вопросы 1-5, письменно в тетрадь. 3. Задача 3.1 – 3.5 на стр Домашняя работа.Doc