Прикладная математика в жизни села - презентация

1

2 Прикладная математика в жизни села Автор: Лавренова Анастасия Сергеевна Руководитель: Стюф Марина Алексеевна

3 Анализ и применение математических соотношений в практической деятельности

4 n Изучить литературу по данной теме; n Рассмотреть экстремальное свойство шестиугольных пчелиных сот; n Проверить опытным путем коэффициент полнодревесности; n Исследовать зависимость объема желоба от угла наклона прибиваемых досок; n Показать применение формул площади и объема; n Установить зависимость площади испарения в цистерне от глубины наполнения; Рассчитать количество краски для ремонта; n Выполнить практический расчет необходимого количества плитки для облицовки стен.

5 Методы исследования : n Моделирование; n Анализ и синтез; n Сравнение.

6 « Странные общественные привычки и геометрические дарования пчёл не могли не привлечь внимание и не вызвать восхищение людей, наблюдавших плоды их деятельности». Герман Вейль «Далее этой ступени совершенства в архитектуре, естественный отбор не мог вести, потому что соты пчёл,- насколько мы в состоянии судить, абсолютно совершенны с точки зрения экономии труда и воска». Чарльз Дарвин

7 Пчелиные соты представляют собой часть плоскости, покрытой правильными шестиугольниками. Какими же правильными многоугольниками можно замостить плоскость? Пусть плоскость замощена правильными n-угольниками, причём правильная вершина является общей для x таких же многоугольников. Тогда имеем. Находим,что Учитывая, что x-целое число, получаем n=3,4,6. Почему же пчёлы используют шестиугольник? Пользуясь формулой находим периметры данных многоугольников.

8 Профиль пчелиной ячейки - правильный шестиугольник, и он из всех возможных многоугольников с данной площадью имеет наименьший периметр, поэтому в результате эволюции сложилось так, что пчелы используют шестиугольник

9 Для наиболее рационального использования леса необходимо знать закономерности увеличения древесной массы в дереве с течением времени. В лесоведении различают два вида прироста: средний и текущий. Текущим приростом в возрасте n лет называют величину z n =V n -V n-1 ; где V n и V n-1 -объём дерева соответственно в возрасте n и n-1 лет. Средним приростом в возрасте n лет называют величину t n =V n /n. При нормальных условиях средний прирост в первый период жизни возрастает(у хвойных-до лет), а затем убывает.

10 Коэффициент полнодревесности штабелей Под коэффициентом полнодревесности (Δ) понимается отношение объёма древесины в штабеле(V др ) к геометрическому объёму штабеля(V шт ). Δ= V др / V шт. Найдём Δ, считая все брёвна одинаковыми цилиндрами R=40 см.; h(Длина брёвен)=4 м.; m(количество брёвен в ряду)=4; n(количество рядов)=3. V др =πR 2 h; V др =3,140,4 2 4=5,024 м.; V шт =mn(2R) 2 h; V шт =4340,4 2 4=30,72 м 3 ; Δ=125,024/19,24=0,785.

11 Границы коэффициента полнодревесности Поленница, которую мы рассматриваем, представляет собой «лежащую на боку» правильную треугольную призму. Если в первом ряду поленницы уложено n чурок, то во втором ряду их n-1, в третьем n-2, в последнем 1. Общее количество чурок в поленнице k=n+(n- 1)+…+1=n(n+1)/2. Δ=kπr 2 l/Sl=n(n+1) πr 2 /2S, где l-длина, r-радиус чурки, S- площадь поперечного сечения поленницы. Так как АВ=АD+DE+BE, а AD=BE=rctg30°=, DE=2(n-1)r, то АВ=2r(n-1+ ). Следовательно, и Значит, Δ не зависит от радиуса чурок, а зависит от количества, определяемого числом n чурок в 1-ом ряду. Пусть Δ n -коэффициент полнодревесности, соответствующий данному n. Покажем, что последовательность(Δ n ) возрастающая. >0, откуда и вытекает, что Δ n+1 > Δ n. Для возрастающей последовательности верно соотношение Δ n Δ 1. У нас Δ 1 = = >0,60. Мы получили для Δ оценку снизу: Δ >0,60. Для получения оценки сверху заметим, что предел a возрастающей последовательности, очевидно, больше любого члена последовательности: Δ n

12 Объём леса долготьём 1-й способ: брёвна грузят в кузов машины, измеряют длину, ширину и высоту кузова и находят объём кузова по формуле V=a·b·c, где a- длина, b-ширина, c-высота. Для более точного объёма умножают найденный объём на коэффициент 0,8. 2-й способ: существует множество таблиц, по которым, зная длину бревна, диаметр в верхнем и нижнем спиле можно найти объём бревна.

13 Объём поленицы Объём поленицы можно найти по формуле:V=a·c·h. Задача.Найти объём поленицы, если известно, что a=1,5,b=2,3, h=1метр. Решение.V=1,5·2,5·1=3,75(м 3 ). Ответ.V=3.75 кубических метров.

14 Вывод: Брёвна и дрова на складах лесоматериалов укладываются в штабеля различной формы. Учёт уложенных в штабеля лесоматериалов ведётся с помощью коэффициента полнодревесности штабеля, который зависит от вида штабеля и от количества брёвен.

15 Математика на ферме Вычисление вместимости желоба Задача: Водопойные желоба для овец сбиваются из двух одинаковых досок. Под каким углом следует сбивать доски, чтобы получить желоб наибольшего объёма? Решение: Пусть доски имеют ширину а, и сбиты под углом α(0< α

16 Задача: Для изготовления водопойного желоба на животноводческой ферме взяли три одинаковые доски длиной 4 метра и шириной 25 сантиметров каждая. При каком значении α получится желоб наибольшей вместимости? Решение: Вместимость V(м 3 ) желоба равна произведению площади трапеции (поперечное сечение) ABCD и длины желоба. Зададим формулой зависимость вместимости желоба от угла α при основании ВС трапеции ABCD и заполним таблицу: Рассмотрим случай, когда α=100 о, d=4м, а=25см, то в поперечном сечении желоб будет иметь форму правильной трапеции. Площадь трапеции можно найти по формуле, где АН-высота. АН=ВА*cos10 0 =25*0.9848=24.62см; ВС= 2ВН+AD= 2(sin10 0 )*25+25= см; S=1/2*( )24.62=0.0721м 2 ; V=0.0721*4=0.2884м 3.

17 Остальные случаи рассматриваются аналогично. Результаты приведены в таблице. Итак, при значении угла α=120 0,получается желоб наибольшей вместимости. Это подтвердил нам работник фермы Неупокоева Надежда Михайловна - летние поилки сбиваются именно под этим углом.

18 Математика в поле Площадь поля Площадь поля находится в зависимости от его формы. Если форма поля нестандартная (т.е. представима в виде простейших геометрических фигур), то его разбивают на простейшие геометрические фигуры, площади которых находятся уже по известным формулам.

19 Найти площадь поля Так как ΔАВС - прямоугольный, то его площадь можно найти по формуле S=ABBC 1/2, если АВ=6,5м, ВС=3,6м, тоS=6,5 3,6 1/2=11,7м 2. Так как CDAN прямоугольник, то S ANDC =DC DN, если DC=4,7м, DN=7,5м,то S ANDC =7,54,7=32,25м 2. Аналогично находятся S 3, S 4, S 5. S=S ! +S 2 +S 3 +S 4 +S 5 =11,7+32,25+14,25+10,64+7,625= =76,46м 2. Ответ:Площадь поля равна 76,46м 2.

20 Объём стогов сена Для приближения подсчёта объёма сена в скирде пользуются формулой V (0,52k-0,44c)cl, где k-длина, l-длина скирды, с- её ширина. Поперечное сечение скирды имеет форму, близкую к изображённой на рисунке. Пусть AD=c,CD=h, EF=h 1. Тогда АВ+ВЕ+ЕС+CD=R. Обозначается ЕВ=ЕС=l. Площадь многоугольника S ABECD =1/2ch 1 +ch=c(h+h 1 *1/2).Воспользуемся и тем, что скирды островерхими не бывают, значит Если ВЕС=90°, тогда h 1 =0,5с, l 1 =0,71с. Тогда k=2h+2 l 1 =2h+1,42c. Отсюда р=0,50л-0,71с, а S=c(0,50л-0,46с). Тогда объём скирды V=cl(0,50k-0,46c). Если ВEC=120°,то ЕСВ= ЕВС=30°. Отсюда h=0,50k-0.58c, h 1 =0,29c. Отсюда S=c(0,50k-0,43c), а V=cl(0,50k-0,43c).

21 В нашем совхозе для каждого вида скирды имеется своя формула для вычисления объёма сена в скирде. Плосковерхая скирда. О=(0,52П-0,44Ш)*Ш*Д Кругловерхая скирда. О=(0,52П-0,46Ш)*Ш*Д Островерхая скирда. Замечание: ширина, длина и окружность измеряются на высоте 1 метр.

22 Определение веса сена.

23 Математика на заправочной станции.

24 Задача. Выясним, насколько эмпирическая формула для вычисления площади поверхности испарения горючего в резервуарах цилиндрической формы, расположенных горизонтально, удовлетворяет потребностям практики. Решение. Выясним насколько целесообразно применять эту формулу на практике. Пусть длина цистерны AD= l. Тогда следует, что S=AB·l. Если пользоваться данной формулой, то Такое соотношение выполняется при или а это имеет место при или. При, а следовательно, и. При Глубину слоя горючего, наполняющего резервуар, принято называть стрелкой. Таким образом,данная формула выведена в расчёте,что стрелка или Совершенно очевидно, что такой уровень горючего в резервуаре может оказаться лишь в отдельных случаях. Выясним, насколько существенно отличается площадь испарения от указанной в формуле при значениях стрелки, отличных от указанных выше. Произведенное исследование позволяет сделать вывод, что при формула приемлема. При и, и по мере удаления значений стрелки КМ от d/4 и 3d/4 отклонения действительной площади испарения от площади, указанной в данной формуле, быстро растут и становятся весьма значительными.

25 Для определения количества жидкости в цистерне, размеры которой: диаметр d=200см, длина l=500см, достаточно измерить высоту столба жидкости «h» и воспользоваться графиком. Задача. Найдём, используя график: сколько литров жидкости в цистерне, если высота столба жидкости равна: а)15 см; б) 25 см. Решение. Воспользуемся графиком h,см Ответ: а)V=10гл, б)V=18гл.

26 Прикладная математика дома Задача: сколько потребуется килограммов краски для покраски пола кабинета? Решение: так как пол кабинета математики имеет форму прямоугольника, то его площадь можно найти по формуле S=a*b, где а - длина, b - ширина. Измерив длину и ширину пола, получаем а=8,55м, b=6,1м. S к =52,155м 2. На этикетке каждой банки краски написано, сколько краски требуется на квадратный метр. Средний расход краски равен 200г на 1м 2. Если количество нужной краски обозначить за К, то К= S к *расход краски. К=52,155*0,2=10,431кг. Ответ: для покраски пола потребуется 10,431 килограммов краски.

27 Задача. Пол комнаты, имеющий прямоугольную форму со сторонами 5,5 и 6м, нужно покрыть паркетом прямоугольной формы. Длина каждой дощечки паркета 30см, ширина 5 см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия всего пола? Решение. Так как форма пола - прямоугольник, то его площадь можно найти по формуле S=a*b. S пола =5,5*6=33м 2 =33000см 2 ; так как форма дощечки паркета прямоугольная то её площадь можно найти по формуле S=a*b. S дощечки =30см*5см=150см 2; Обозначим количество дощечек за К. К= S пола / S дощечки К = 33000см 2 /150см 2 =2200 Ответ. Для покрытия пола паркетом нужно 2200 паркетных дощечек.

28 Задача. Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, для облицовки части стены, если длина стены 3 метра, высота 2,7 метра. Решение. Найдем площадь плитки: так как плитка имеет форму квадрата, то её площадь равна S=a 2. S плитки = 15 2 = 225см 2 =0,0225м 2. Так как стена имеет форму прямоугольника, то её площадь равна S=a*b, S стены =3*2,7=8,1м 2. Обозначим количество плиток за К. К= S стены / S плитки К= 8,1м 2 /0,0225м 2 =360. Ответ. Для облицовки стены потребуется 360 плиток

29 При изучении математики мне всегда хотелось узнать о её применении в жизни села, поэтому, работая над данной темой я поняла, что математика не существует отдельно от жизни: математические соотношения рассматриваются применительно к конкретным ситуациям, теоретические результаты сравниваются с приемами, распространёнными в практической деятельности.