Def. f(z) называется дифференцируемой (или моногенной) в точке z 0 g, если при z 0 §4. Дифференцирование функций комплексной переменной. Понятие аналитической. - презентация

1 Def. f(z) называется дифференцируемой (или моногенной) в точке z 0 g, если при z 0 §4. Дифференцирование функций комплексной переменной. Понятие аналитической функции. Пусть f(z) C(g). ( z z-z 0 ) конечный предел Не зависит от способа стремления

2 Теорема 4.1 Если дифференцируема в точкето в точке условия Коши-Римана. Доказательство.

3

4 Пусть f(z) C(g), Теорема 4.2 Если в точке дифференцируемая в точке то Доказательство. и

5 Обозначим

6 Замечания.

7 2. Теорема 4.2 не обратная к теореме 4.1 Если f(z) дифференцируема в точке z 0, то она и непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно. Пример.

8 Основное определение. f(z) дифференцируемая в z g, f (z) C(g) называется аналитической функцией в g. Обозначение: Понятие аналитичности функции определяет глобальное поведение f(z) в области g. Теорема 4.3 Необходимым и достаточным условиями являютсяи условия Коши-Римана.

9 Доказательство. Необходимость. Из Т.4.1 => Достаточность. Из Т.4.2 т.к. Т.к.

10 Замечание. Далее будет показано, что из Основное замечание. Условие лишнее. Альтернативное определение. f(z) дифференцируемая в z g, называется «аналитической» функцией в g. Вместо Теорем 4.2 и 4.3 будут

11 Теорема 4.4 Еслии в точке дифференцируемая в точке то Теорема 4.5 Необходимым и достаточным условиями являютсяи «аналитичности» в g

12 Оказывается, что производная «аналитической» функции непрерывна в g, причем для n f (n) (z) C(g), т.е. класс «аналитических» функций не является расширением введенного нами класса, а полностью с ним совпадает.

13 Следствия условий Коши-Римана Обратно, пара гармонических в g функций u(x,y) и v(x,y), связанные условиями Коши- Римана, являются действительной и мнимой частью аналитической функции.

14

15 Свойства аналитических функций.

16 Тогда в Доказательство. Для необходимо, чтобы в

17 Но =(Коши-Риман)= Доказано обратной функции z= (w). Для этого достаточно, чтобы в Cоставим разностное отношение и непрерывность '(w 0 ) при условии

18 5. Пусть в односвязной области g плоскости (x,y) задана функция с точностью до аддитивной постоянной. Тогда определяется Доказательство. с точностью до аддитивной постоянной. можно определить по

19

20 Т.к. grad линии уровня => линии уровня u(x,y)=c и v(x,y)=c взаимно. можно восстановить

21 Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции.

22

23

24 не зависит от выбора Геометрический смысл При отображении бесконечно малые линейные элементы коэффициент преобразования подобия. преобразуются подобным образом, причем Свойство постоянства растяжения.

25 Геометрический смысл Аргумент производной в точке определяет величину угла, на который нужно повернуть касательную к гладкой кривой, проходящей через точку z 0, чтобы получить касательную к образу этой кривой в точке w 0 =f(z 0 ).

26 Свойство сохранения углов. не зависит от выбора 1 => для 2 : z 0 2 : 2 = 2 + => = = = (сохраняется величина и направление углов).

27 Примеры простейших функций комплексной переменой. целое