Геометрия глава 10 Подготовила Голкова Анна 9 класс СПб лицей 488 ( учитель Курышова Н.Е. ) - презентация

1 Геометрия глава 10 Подготовила Голкова Анна 9 класс СПб лицей 488 ( учитель Курышова Н.Е. )

2 Содержание Разложение вектора по двум неколлинеарнымем. Лемма Разложение вектора по двум неколлинеарнымем. Лемма Координаты вектора. Правила действий над векторами с заданными координатами. Правила действий над векторами с заданными координатами. Простейшие задачи в координатах: 1)Координаты вектора через координаты начала и конца этого вектора.1)Координаты вектора через координаты начала и конца этого вектора. 2) Координаты середины отрезка 3) Вычисление длины вектора по его координатам.3) Вычисление длины вектора по его координатам 4) Расстояние между двумя точками Уравнение окружности Уравнение прямой Заключение

3 Лемма Если векторы а и в коллинеарные и а=0,то существует такое число к, что в=ка. и 2. и Из пункта 1 и 2 следует, что

4 Теорема Любой вектор можно разложить по двум неколлинеарнымем векторам и,причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Пусть и неколлинеарныме (не являются параллельными и не 0 )

5 Доказательство. О О AP B OAPB- //-мм OP=OA+OB ; ОA=x OB=y по Лемме // 1.Докажем,что любой вектор можно разложить по двум неколлинеарнымем векторам и 1) ; 2) 3) PA// PB//

6 О AP B О 2.Докажем,что х и y определяются единственным образом -методом от противного. Пусть существует еще один набор и,что но -противоречие,т.к. // (по усл. Теоремы) допущение о том, что. неверно, значит, теорема доказана.

7 Координаты вектора x y 1 1 ; ; и - единичные векторы не // x и y- коэффициенты { х ; y} x ; y – координаты и - координатные векторы x ; y – координаты

8 Равные векторы имеют равные координаты х y {4 ;3} Координаты вектора - это коэффициенты разложения этого вектора по и. Правила действий над векторами с заданными координатами.

9 1. Пусть, тогда Следовательно, х 1 = х 2 ; у 1 = у 2

10 Каждая координата суммы двух (и более) векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Дано: Доказать: Следовательно, Док-во:

11 Координаты противоположных векторов противоположны. Пусть { х ; y} { -х ; -y}

12 Координаты разности двух векторов равны разности соответствующих координат вычитаемых векторов. Дано: Доказать: Следовательно, Док-во:

13 Координаты коллинеарныех векторов пропорциональны. y x A (x ; y) O { х ; y} Координаты p-вектора численно равны координатам точки, являющейся концом этого вектора. A (x ; y) { х ; y}

14 Простейшие задачи в координатах y x А (x 1 ; y 1 ) B(x 2 ; y 2 ) O 1. Координаты вектора через координаты начала и конца этого вектора. Дано: точки А(x 1 ; y 1 ) и B(x 2 ; y 2 ) Найти : AB {?;?} Решение: AB = OB – OA B (x 2 ; y 2 )=> OB {x 2 ; y 2 } A (x 1 ; y 1 )=> OA {x 1 ; y 1 } => => AB {x 2 -x 1 ; y 2 - y 1 }

15 Задача. y x А (2;3) B(3; 1) O Дано: точки А(2 ; 3) и B(3; 1) Найти : AB {?;?} Решение: AB = OB – OA AB {x 2 -x 1 ; y 2 - y 1 } AB {3-2 ; 1-3} => AB {1; -2} Ответ : AB {1; -2}

16 2. Координаты середины отрезка A (x 1 ; y 1 ) ;B (x 2 ; y 2 ) C (x 0 ; y 0 ) – середина AB координаты х 0 ;y 0 -? 1) Пусть AB не // оси Oy, т. е. x 1 x 2. Проведем через точки A, B и C прямые, // оси Oy Эти прямые пересекают Ox в точках A 1 (x 1 ; 0), B 1 (x 2 ; 0) и C 0 (x 0 ; 0) Тогда по теореме Фалеса точка C 0 (x 0 ; 0) середина A 1 B 1, т. е. A 1 C 0 = C 0 B 1 или |x 0 – x 1 | = |x 0 – x 2 |. x 0 – x 1 = x 0 – x 2 x 1 = x 2 ( неверно, т.к. x 1 х 2 ) x 0 – x 1 = –(x 0 – x 2 ) x y O A B C A1A1 B1B1 C0C0 =>

17 2) Пусть AB // оси Oy, т. е. x 1 = x 2. =>A 1, B 1, C 0 имеют одну и ту же абсциссу => 3) Координата y 0 точки C 0 находится аналогично. В этом случае рассматриваются прямые, // оси Oх x y O A B C x y O A B C => A1A1 C0C0 B1B1 A1A1 C0C0 B1B1

18 x y O A (x 1 ; y 1 ) B (x 2 ; y 2 ) C (x 0 ; y 0 ) x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 Серединой отрезка AB является точка С, где A (x 1 ; y 1 ), B (x 2 ; y 2 ): x0x0 y0y0

19 Задача. Концами отрезка служат точки A (–8; –5), B (10; 4). Найдите координаты точек C и D, которые делят отрезок AB на три равные части. Решение. Пусть точки C и D имеют координаты (x C ; y C ) и (x D ; y D ). 1) Найдем абсциссы точек C и D. Так как точка C – середина отрезка AD, то выполняется равенство Так как точка D – середина отрезка CB, то 2x C = x D – 8 x C = –2 2x D = 10 + x C x D = 4

20 2) Найдем ординаты точек С и D. 2y C = y D – 5, 2y D = y C + 4, y C = –2, y D = 1. Ответ: C (–2; –2), D (4; 1).

21 3. Вычисление длины вектора по его координатам. Дано : точка A (х ; y); {х;y} Док-ть: x y OA1A1 A2A2 A (х ; y) OA= { х;y} Док-во. Координаты точки A равны координатам вектора OA, т.е. (х; y) => OA 1 =|x|,AA 1 =OA 2 =|y| (если х=0 и y=0 ), => (по Теореме Пифагора) Но, поэтому ч.т.д

22 x y OA1A1 A (5 ; 3) OA= { 5;3} Док-во. Координаты точки A равны координатам вектора OA, т.е. (5; 3) => OA 1 =|5|,AA 1 =OA 2 =|3| (если х=0 и y=0 ), => (по Теореме Пифагора) Но, поэтому A2A2 Задача. Дано : точка A(5 ; 3); {5;3} Найти: | | -? Ответ: | | =6

23 Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат с точками A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ). Тогда расстояние d (A, B) = AB между точками A и B можно найти по формуле x y O A (x 1 ; y 1 ) B (x 2 ; y 2 ) x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 4. Расстояние между двумя точками

24 l1l1 x y O l2l2 A B C => AB не // х ; y Доказательство формулы: Пусть С –точка пересечения прямых l 1 и l 2 В ABC: AC = BC = или

25 Заметим, что формула верна и для случаев: а) х 1 = х 2, y 1 =y 2 (отрезок // оси Oy,рисунок 1) б) х 1 = х 2, у 1 = у 2 (отрезок // оси Ox, рисунок 2) в) х 1 = х 2, у 1 = у 2 (точки A и B совпадают). В случае а) d (A,B) = AB =. В случае б) d (A, B) = AB =. Если точки A и B совпадают, то d (A, B) = 0. x y Ox y1y1 y2y2 A (x; y 1 ) B (x; y 2 ) x y O A (x 1 ; y) B (x 2 ; y) x1x1 x2x2

26 Задача. Дано: АВСD-квадрат A (8; 8),B (5; 5). SABCD -? Решение. S ABCD = AB² => S ABCD = AB = 18 кв. ед. Ответ: 18 кв. ед. A BC D

27 Уравнение окружности Окружность- геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой, которая называется центром окружности. Составим уравнение окружности с центром в точке С (x 0 ; y 0 ) и радиусом R. Пусть точка M (x; y) принадлежит окружности. СM = R. => квадрат расстояния между точками С и M равен квадрату радиуса: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = R 2. x y O C x0x0 y0y0 M (x; y) (x 0 ; y 0 ) -координаты центра окружности (х ; y ) -координаты любой точки

28 Пусть точка M (x; y) не принадлежит окружности, тогда СM 2 R 2, а значит, (x – x 0 ) 2 + (у –y 0 ) 2 R 2, =>координаты точки M не удовлетворяют уравнению (x – x 0 ) 2 + (у – у 0 ) 2 = R 2 В частности, уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид: x 2 + y 2 = R 2 x y O C x0x0 y0y0 M (x; y)

29 Задача. Составьте уравнение фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, сумма квадратов расстояний которых от точек A (–6; 0) и B (6; 0) равна 104. Решение. x y OA B M 1) Пусть M (x; y) – точка, принадлежащая фигуре, уравнение которой необходимо составить. Тогда по условию задачи AM 2 + BM 2 = ) 3) (x + 6) 2 + y 2 + (x – 6) 2 + y 2 = 104. => x 2 + y 2 =16. Ответ: x 2 + y 2 =16

30 Уравнение прямой Дано: точки A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ), l – серединный перпендикуляр к AB 1) Если точка M (x; y) лежит на прямой l, то AM = BM, => координаты точки M удовлетворяют уравнению (x – x 1 ) 2 + (y – y 1 ) 2 = (x – x 2 ) 2 + (y – y 2 ) 2, ax + by + c = 0 x y O l A B M

31 2) Если точка M (x; y) не лежит на прямой l, то AM BM и AM 2 BM 2, => координаты точки M не удовлетворяют уравнению ax + by + c = 0. Таким образом, уравнением прямой в прямоугольной системе координат является уравнение первой степени: ax + by + c = 0, где a и b одновременно не равны нулю. x y O A B M l Если a = 0, то y = c 1 – прямая || Ox. Если b = 0, то y = c 2 – прямая || Oy. Если с = 0, то прямая проходит через O (0; 0).

32 Задача. Т.к. угловой коэффициент k 1 исходной прямой 2x+3y-1=0 равен - 2/3, а угол α =45 o, то имеем уравнение для определения k: (2/3 + k)/ (1 - 2/3k) = 1 (2/3 + k)/ (1 - 2/3k) = -1. K= 1/5 K= -5 Ответ: x-5y+2=0 5x+y-16=0 Х-5y+2=0 Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45 o. Решение. y=kx+b. 1=3k+b, b=1-3k. Величина угла между прямыми y= k 1 x+b 1 y= kx+b определяется формулой tgα= x/y

33 Заключение Суть координатного метода заключается в том, что введение системы координат позволяет записать условие задачи в координатах и решать ее, используя знания по алгебре.