Теория пластин Условия на контуре пластины Типичные краевые условия Изгиб анизотропной пластины по модели Тимошенко. - презентация

1 Теория пластин Условия на контуре пластины Типичные краевые условия Изгиб анизотропной пластины по модели Тимошенко

2 Условия на контуре пластины При постановке краевой задачи для уравнения изгиба тонкой пластины необходимо сформулировать дополнительное условие на контуре пластины (рис.1). Уравнение стационарное, четвертого порядка в частных производных, поэтому для математической формулировки граничных условий необходимо на контуре задать две функции, для каждой точки контура. Рис.1 Контур пластины

3 Типичные краевые условия Заделанный край: прогиб и угол поворота в точке на границе равны нулю: (1) Шарнирное опирание: прогиб и изгибающий моменты равны нулю: (2) Обычно предполагается, что шарнирная опора является идеально жесткой, т.е. прогиб вдоль контура тождественно равен нулю, тогда, и следовательно,

4 Типичные краевые условия Так как коэффициенты жесткости Δnn0, то граничные условия могут быть сформулированы следующим образом (3) Свободная от закрепления граница, на которой нет напряжений и где следовало бы приравнять нулю моменты и перерезывающие усилия: (4)

5 Типичные краевые условия Рис. 2 Расчетная схема Максвелла на свободной границе

6 Типичные краевые условия Для приближенного удовлетворения граничных условий была предложена следующая расчетная схема – схема Максвелла (рис.2), где граничные условия формулируются для изгибающего момента М=0 и приведенного или суммарного перерезывающего усилия (5) Используя известное соотношение (6) и выражая моменты через прогибы, можно получить граничные условия для свободного края.

7 Изгиб анизотропной пластины по модели Тимошенко Теория С.П. Тимошенко. Пусть нормали при деформировании пластин остаются прямолинейными и длина их не изменяется, но после деформирования нормаль поворачивается на некоторый угол: (7) следовательно, (8) Так как нормаль остается прямолинейной, то правая часть от z не зависит: (9) и, учитывая, что перемещение на серединной поверхности отсутствует, (10) аналогично (11)

8 Изгиб анизотропной пластины по модели Тимошенко Для определения поля перемещений необходимо знать w(x,y) и функции углов поворота нормалей γ xz (x,y) и γ yz (х,у). Получим соотношение деформаций: (12) Напряжения на пластинке определим, используя закон Гука: (13)

9 Изгиб анизотропной пластины по модели Тимошенко Внутренние усилия Мх,Му,Мхy,Qx,Qy; связаны с полями напряжений и перемещений соотношениями: (14)

10 Изгиб анизотропной пластины по модели Тимошенко Решая систему трех линейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно неизвестных функций прогиба w(x,y) и углов поворота γ xz( х,у) и γ yz (х,у), получим решение задачи об изгибе пластинки по модели С.П.Тимошенко. По этой теории часто рассчитывают толстые пластинки. Теория позволяет проводить оценку прочности на расслоение.