многогранником Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.

Параллелепипед Параллелепипед – поверхность, составленная из шести парольлелограммов

Тетраэдр Тетраэдр – поверхность, составленная из четырех треугольников. С А В SS

Октаэдр Октаэдр составлен из восьми треугольников. гранями. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются гранями. ребрами, вершинами Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами. диагональю Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке приведены примеры выпуклой и невыпуклой пирамиды. Куб, парольлелепипед, треугольные призма и пирамида являются выпуклыми многогранниками

Прямоугольный парольлелепипед выпуклым Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани

Невыпуклый многогранник

На рисунке укажите выпуклые и невыпуклые многогранники. Ответ: б), д) – выпуклые; а), в), г) – невыпуклые

Призма А1А1 А2А2 АnАn B1B1 B2B2 nBnnBn B3B3 А3А3 n Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А 1 А 2 …А n и В 1 В 2 …В n, расположенных в парольлельных плоскостях, и n парольлелограммов, называется призмой. n-угольная призма. Многоугольники основания призмы А 1 А 2 …А n и В 1 В 2 …В n – основания призмы. боковые грани призмы Параллелограммы А 1 В 1 В 2 В 2, А 2 В 2 В 3 А 3 и т.д. боковые грани призмы

Призма А1А1 А2А2 АnАn B1B1 B2B2 nBnnBn B3B3 А3А3 Отрезки А 1 В 1, А 2 В 2 и т.д. - боковые ребра призмы высотой призмы Перпендикуляр, проведенный из какой- нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы

прямой, наклонной Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру

правильной, Прямая призма называется правильной, если ее основания - правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники

Площадью полной поверхности призмы площадью боковой поверхности призмы Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней. hh P oc н

Докажем, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро. A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 S 1 =A 1 A 2 * l S 2 =A 2 A 3 * l S 3 =A 3 A 4 * l S 4 =A 4 A 1 * l

Объем призмы:

А1А1 А2А2 АnАn Р А3А3 Многогранник, составленный из n-угольника А 1 А 2 …А n n треугольников, называется пирамидой. Вершина Н высотой пирамиды Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды n-угольная пирамида. Многоугольник основание пирамиды А 1 А 2 …А n – основание пирамиды Треугольники А 1 А 2 Р, А 2 А 3 Р и т.д. боковые грани пирамиды Отрезки А 1 Р, А 2 Р, А 3 Р и т.д. боковые ребра Пирамида

Треугольная пирамида – это тетраэдр С А В S S Четырехугольная пирамида Н Н

Пятиугольная пирамида А1А1 А2А2 АnАn Р А3А3 Н Н Шестиугольная пирамида

Н правильной Пирамида называется правильной, если ее основание- правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину с центром основания, является ее высотой. Центром правильного многоугольника называется центр вписанной (или описанной около него окружности)

все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Н А1А1 А2А2 А3А3 А4А4 А5А5 А6А6 Р

апофемой. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Н А1А1 А2А2 А3А3 А4А4 А5А5 А6А6 Р

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Н А1А1 А2А2 А3А3 А4А4 А5А5 А6А6 Р

А1А1 А2А2 АnАn А3А3 Р Н Усеченная пирамида В1В1 В2В2 В3В

СВОЙСТВО 1 Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками. Действительно, пусть F - какая-нибудь грань многогранника M, и точки A, B принадлежат грани F. Из условия выпуклости многогранника M, следует, что отрезок AB целиком содержится в многограннике M. Поскольку этот отрезок лежит в плоскости многоугольника F, он будет целиком содержаться и в этом многоугольнике, т. е. F - выпуклый многоугольник

СВОЙСТВО 2 Действительно, пусть M - выпуклый многогранник. Возьмем какую- нибудь внутреннюю точку S многогранника M, т. е. такую его точку, которая не принадлежит ни одной грани многогранника M. Соединим точку S с вершинами многогранника M отрезками. Заметим, что в силу выпуклости многогранника M, все эти отрезки содержатся в M. Рассмотрим пирамиды с вершиной S, основаниями которых являются грани многогранника M. Эти пирамиды целиком содержатся в M, и все вместе составляют многогранник M. Свойство 2. Всякий выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника

Вершины, ребра и грани Рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней многогранника. Название многогранника ВРГ Треугольная пирамида Четырехугольная пирамида Треугольная призма Четырехугольная призма n-угольная пирамида n-угольная призма n+12n2n 2n2n3n3nn

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА Из приведенной таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для рассмотренных многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника. Впервые это свойство выпуклых многогранников было доказано Леонардом Эйлером в 1752 году и получило название теоремы Эйлера. Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство В - Р + Г = 2, где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного многогранника

Упражнение 4 Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет: а) 12 ребер; б) 15 ребер? Ответ: а) В = 6, Г = 8; б) В = 7, Г =

Упражнение 5 Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно: а) 12; б) 15? Ответ: а) В = 8, Г = 6; б) В = 10, Г =

Упражнение 6 Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число ребер равно 12? Приведите пример такого многогранника. Ответ: В = 8, Г = 6, куб

Упражнение 8 Нарисуйте какую-нибудь невыпуклую призму. Ответ: Например,

Упражнение 9 Нарисуйте какую-нибудь невыпуклую пирамиду. Ответ: Например,

Упражнение 10 Приведите пример невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками. Ответ: Например, многогранник, составленный из семи кубов, называемый пространственным крестом

к невыпуклые Многогранники выпуклые Призма Пирамида ребро высота основание бок. грань осн-ние бок. грань к-апофема ребро вершина * Прямая *Наклонная ** Правильная * Правильная основание – прав. мн-к, бок. ребра пер-ны осн-ию основание – прав. мн-к, высота проец-ся в центр оп. (впис) окружности *Параллелепипед грани – пароль-мы **Прямой **Прямоугольный **Куб к * Усеченная высота

В прямоугольном парольлелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ парольлелепипеда образует с плоскостью основания угол в Найдите боковое ребро парольлелепипеда В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 ? D А 12 см 5 см

Основанием прямого парольлелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота парольлелепипеда 10 см. Найдите большую диагональ парольлелепипеда В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 ? D А см

Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания А В С С1С1 В1В1 А1А

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы HВ СD А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 А F

Через два противолежащих ребра проведено сечение, площадь которого равна см 2. Найдите ребро куба и его диагональ D А В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 a a a 64 S=

Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в Найдите угол между диагональю и плоскостью основания В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 D А? 30 0 aa a 2a2a2a2a a 2a 2a 2a

В правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечение парольлельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а ее высота 4 см D А В С D1D1 С1С1 В1В1 А1А O N

А B C 1 B1B1 А1А1 C Основанием наклонной призмы АВСА 1 В 1 С 1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором АС=АВ=13 см, ВС=10 см,а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в Проекцией вершины А 1 является точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь грани СС 1 В 1 В

120 0 А1А1 Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы А В С С1С1 В1В1 3 5 S=35 см

Стороны основания прямого парольлелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в Меньшая из площадей диагональных равна 130 см 2. Найдите площадь поверхности парольлелепипеда В С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 D S=130 см 2 А А D С В

Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы А В С D А1А1 D1D1 С

А B C 1 B1B1 А1А1 C В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от двух других боковых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы К О

D d Диагональ прямоугольного парольлелепипеда, равная d, образует с плоскостью основания угол, а с одной из боковых граней – угол. Найдите площадь боковой поверхности парольлелепипеда А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 А В С

Основание прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ 1 проведено сечение ВВ 1 D 1 D, перпендикулярное к плоскости грани АА 1 С 1 С. Найдите площадь сечения, если АА 1 =10 см, АD=27 см, DC= 12 см А С В В1В1 А1А1 С1С1 D D1D Из АВС S сеч = 10 *

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите S сеч, если катеты равны 20 см и 21 см, а боковое ребро равно 42 см А С В В1В1 А1А1 С1С1 D D1D N N1N А С В D N ?

D Высота правильной четырехугольной призмы равна, а сторона основания – 8 см. Найдите расстояние между вершиной А и точкой пересечения диагоналей грани DD 1 С 1 С. А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 А В С О

С А В Н Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см. O D 5 см

С В А D Основанием пирамиды DАВС является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды M

С В А D Основанием пирамиды DАВС является прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ = 29 см, катет АС = 21 см. Ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите S бок

Основанием пирамиды является парольлелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см 2. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найти S пп. D Н O А B 240. K С М А D С В О K

Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в 30 0 и Найдите S п.пов. А D Н x В С 30 0 x 3 x

А В С D M F Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание. б) Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см O 40 N

Двугранные углы при основании пирамиды равны высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание; б) высоты всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны; в) площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины А1А1 АnАn D M F N А2А2 А3А3 А4А4 O

- Если двугранные углы при основании пирамиды равны - Если двугранные углы при основании пирамиды равны. - Если высоты боковых граней равны - Если высоты боковых граней составляют равные углы с высотой пирамиды. Высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности. через центр вписанной окружности. А1А1 АnАn D M F N А2А2 А3А3 А4А4 O

А В С D M F Основанием пирамиды является треугольник с сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом Найдите площадь боковой поверхности пирамиды O N

В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; б) все боковые ребра составляют равные углы с плоскостью основания. А1А1 А2А2 А3А3 А4А4 А5А5 А6А6 Р О В каких еще случаях высота пирамиды пройдет через центр описанной окружности?

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом Боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в Найдите площадь основания пирамиды. А В С Р О На чертеже ошибка!

Для тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит во внешней области. А В С Р О О А С В S АВС

А Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Боковые ребра пирамиды равны друг другу, а ее высота равна 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если ВС = 10 см. В С D О 90 0 На чертеже ошибка!