Подготовка к ЕГЭ ЛОГАРИФМЫ

Свойства функции у = log a х, a > 1: D(f) = (0; + ); не является ни четной, ни нечетной; возрастает на (0; + ); не ограничена сверху, не ограничена снизу; не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; непрерывна; E(f) = (- ;+ ); выпукла вверх; дифференцируема.

у х у х У=log 2 х У=log 0,5 х х 1/ у х 1248 у y=log 2 x y=log 0,5 x

Определите, какие из перечисленных ниже функций являются возрастающими, а какие убывающими? y = log 2 x y = log 0,5 (2x + 5) y = lg (x) 1/2 y = ln(x + 2) 2 > 1 возрастающая 0 < 0,5 < 1 убывающая 10 > 1 возрастающая e > 1 возрастающая

Свойства логарифмов (a > 0, a 1)

«ХИТРОСТИ» свойств логарифмов:

Преобразование логарифмических выражений Сравнить числа log и log Решение. Так как log < log log = log =2, т.е. log <2. log > log = log =2, т.е. log >2, то log < log

Преобразование логарифмических выражений Сравнить числа Решение. Так как И 15+

Преобразование логарифмических выражений Доказать, что

Логарифмические уравнения – это уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида log a f(x) = b, г де а > 0, а 1, равносильное уравнению f(x) = a b.

Уравнение вида log x A=B,A>0 при А1 и В0 имеют единственный корень х=А 1/В ; при А=1 и В=0 имеют решением любое положительное, отличное от единицы, число; при А=1 и В0 корней нет; при А1 и В=0 корней нет.

Уравнение вида log a f(x)=log a g(x), a>0, a1 1 способ. 2 способ.

Тренинг

Уравнения вида log g(x) f(x)=b равносильны смешанной системе Логарифмы с переменным основанием

Тренинг

Уравнения вида log f(x) g(x )=log f(x) h(x) или

Тренировочные упражнения

Уравнения вида log g(x) f(x )=log p(x) f(x) или

Тренинг

Уравнения вида a>0, a1, nN Пример.

Методы решения логарифмических уравнений Логарифмические уравнения Решение уравнений, основанных на определении логарифма Решение уравнений потенцирование м Применение основного логарифми - ческого тождества Логарифми - рование Замена переменной Переход к другому основанию

1. Решение уравнений, основанных на определении логарифма log 2 (5 – x) = 3. По определению логарифма 5 – х = 2 3, откуда х = –3. х = –3 – корень уравнения. Ответ: х = –3.

2. Решение уравнений с помощью потенцирования log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1. Потенцируя, имеем: log 3 (x + 1)(x + 3) = 1. Учитывая область определения получаем систему: или Откуда х 1 = 0, х 2 = – 4. Так как х > –1, то корень х 2 = – 4 – посторонний. Ответ: х = 0

3. Применение основного логарифмического тождества log 2 (9 – 2 x ) =10 lg(3 – x) Область определения уравнения откуда х < 3. Применив в правой части уравнения основное логарифмическое тождество, получим: log 2 (9 – 2 x ) = 3 – x или 9 – 2 x = 2 3 – x или, 2 2 х – 9 · 2 х + 8 = 0, откуда 2 х = 1, х 1 = 0; 2 х = 8, х 2 = 3. Так как x < 3, то х 2 = 3 – посторонний корень. Ответ: х = 0.

4. Логарифмирование Область определения уравнения задается условиями х > 0, х 1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, предварительно упростив его: (10 lgx ) lgx + x lgx = 20, x lgx + x lgx = 20, x lgx = 10 или lgx lgx = lg10, lg 2 x = 1, lgx = ±1, значит lgx = 1, x 1 = 10; lgx = –1, x 2 = 0,1. Оба корня удовлетворяют ограничениям x > 0,x 1. Ответ: x 1 = 10, x 2 = 0,1.

Замена переменных в уравнениях Две основные идеи решения логарифмических уравнений : приведение уравнения к виду с последующим потенцированием ; замена неизвестных вида с предшествующим преобразованием уравнения к удобному для этой замены виду.

5. Замена переменной Так как – х > 0, т.е. х < 0 и, то данное уравнение можно записать в виде. Пусть тогда получаем t = t 2, t (t – 1) = 0, откуда t 1 = 0, t 2 =1. Значит lg(–x) = 0, x 1 = – 1; lg( –x) =1, x 2 = –10. Ответ: x 1 = – 1, x 2 = –10.

Тренировочные упражнения Ответ: 2;16 Ответ: 9;1/3 Ответ:0,125; 2 Ответ: 1/3; 3 Ответ: 2; 16

6. Переход к другому основанию Запишем уравнение в виде Далее имеем Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 3, получим: откуда Ответ:

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ И СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

Сведение к рациональным неравенствам Тренинг

Метод интервалов и систем Тренинг

Неравенства вида log h(x) f(x)<b

Частный случай при b=0 b=1 b=2

Решите неравенство

Тренинг

Неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

Решить неравенства log 3 (x 2 - x) log 3 (x + 8);

Смешанные задачи с логарифмами Модули и возведение в квадрат Логарифмы и корни