Логарифмические задания на едином государственном экзамене. - презентация

1 Логарифмические задания на едином государственном экзамене

2 Определение логарифма Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию а (а > 0, а 1) называется показатель степени, в который нужно возвести основание а, чтобы получить b. Обозначение: log a b. Десятичный логарифм - логарифм, основание которого равно 10. Обозначение: log 10 x = lgx. Натуральный логарифм - логарифм, основание которого равно е 2,7. Обозначение: log е x = lnx.

3 Свойства логарифмов 1) log a 1 = 0, a > 0, a 1 2) log a a = 1, a > 0, a 1 3) a log a b = b – основное логарифмическое тождество 4) log a (b·c) = log a |b| + log a |c| 5) log a (b/c) = log a |b| - log a |c| 6) log a b p = p log a |b|, если p нечетно, то log a b p = p log a b 7) log а р b = 1/р log a b 8) log a b = log а р b р (р 0) 9) log а р b m = m/p log a b 10) log a b = log c b /log c a – формула перехода к новому основанию 11) log aс b = log |a| b/(1+ log |a| |с|), (aс >0) 12) log a p*log b p+log b p*log c p+log a p*log c p=(log a p*log b p*log c p)/log abc p 13) a log c b = b log c a (a>0, b>0, с>0, c1) 14) a log a b = b log b a. 15) log a b = 1/ log b а.

4 Выражения и их преобразования. Значения выражений Пример 1(А). Упростите выражение Ig25 + 0,5 lgl6. l)lg 29; 2) 2; 3) lg 33; 4)10. Решение. Применив свойство логарифма степени ко второму слагаемому, а затем свойство суммы логарифмов, получим: lg lg16 = Ig25 + Ig4 = lg(25 4) = lg 100 = 2. Ответ: 2.

5 Выражения и их преобразования. Значения выражений Пример 2(А). Найдите значение выражения 1og ) -16; 2) -11; 3) -5; 4) 19. Решение. В соответствии с основным логарифмическим тождеством первое слагаемое равно 12. Поэтому 1оg б = = -5. Ответ:3.

6 Выражения и их преобразования. Значения выражений Пример 3(В). Найдите значение выражения log 2 7 log Решение. Данное выражение представляет собой степень с основанием 3. Поэтому целесообразно привести к этому основанию и логарифмы, стоящие в числителе и знаменателе показателя степени: 2 log 2 7 = log 3 7 : log 3 3 = log 3 7 × log 3 2 = log 3 7 · 2 log 3 2 = log 4 3 log 3 2 log 3 4 log 3 2 log 3 2 = 2 log 3 7 = log Применив основное логарифмическое тождество, получим: log 2 7 log 4 3 log = 3 = 49. Ответ: 49.

7 Выражения и их преобразования. Значения выражений Пример 4(В). Найдите значение выражения log ,5 + log 7 0,5 - log 1/7 4. Решение. Значение первого слагаемого можно найти с помощью основного логарифмического тождества: log 2 0,04 log 2 0,2 2 log ,5 = (2- 1 ) = (2 -1 ) = 5 2 = 25. Применяя ко второму и третьему слагаемому формулы n log а b = n log a b и log a m b = (1/m) log a b, получаем: log 7 0,5 = log 7 1/ = 2*(-1)*log 7 2 = -2 log 7 2, и log 1/7 4 = log = -2 log 7 2. Окончательно получаем: 25 - (-2 log 7 2) + (-2 log 7 2) = 25. О т в е т: 25.

8 Логарифмические уравнения Определение. Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестная находится только под знаком логарифма или в основании логарифма (или то и другое одновременно). log 2 x(x +2) = 3, log х (x 2 + 1) = 2 – логарифмическое, но хlgx = 10 – уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифмической функции.

9 Логарифмические уравнения. Методы их решения: решение уравнений, основанное на определении логарифма; решение с помощью операции потенцирования; применение основного логарифмического тождества; использование операции логарифмирования; переход к логарифму по новому основанию; введение нового неизвестного.

10 Полезные советы 1) При решении логарифмических уравнений обратите внимание на основание логарифма. Разные основания следует попытаться привести к одному основанию. 2) Если в логарифмическом уравнении логарифмы приведены к одному и тому же основанию, то надо попробовать выделить какое-то выражение, входящее в уравнение, для того, чтобы, обозначив это выражение через другую переменную, можно было бы получить уравнение относительно этой переменной не содержащее логарифмической функции. 3) Решение логарифмических уравнений сопровождается рядом ограничений на входящую в них переменную и основание, поэтому невозможно соблюсти равносильность при выполнении преобразований. В результате возможно расширение области определения исходного уравнения или снятие каких-то ограничений, а это может привести к появлению посторонних корней. Необходимо выполнять проверку. 4) Если же исходное уравнение удалось представить в виде log а (f)x = g(x), то его корни можно искать из соотношения f(x) = а g(x).

11 Логарифмические уравнения При решении логарифмических уравнений следует обратить внимание на то, что применение следующих формул: log a mn = log a m + log a n, log a m/n = log a m – log a n, k log a m = k log a m, может привести как к приобретению, так и к потере корней уравнения.

12 Пример 5(А). Укажите промежуток, которому принадлежит меньший корень уравнения log 2 x(x +2) = 3 1) (-;-2]; 2) (-2; 2); 3) [2; 4]; 4) (4; +). Решение. По определению логарифма получаем: х(х+2) = 2 3 или х 2 + 2х - 8 = 0. Корнями этого уравнения являются числа х = -4 или х = 2. Ответ: 1

13 Замечание При решении этого примера мы пользовались только определением логарифма. Никаких преобразований, сулящих потерю равносильности, не было. Поэтому вовсе необязательно в решении приводить, например, такое обоснование: «В соответствии с определением произведение х(х + 2), стоящее в исходном уравнении под знаком логарифма, может принимать только положительные значения. В уравнении х·(х+2)=23 это выражение положительно, так как 23 > 0. Следовательно, эти уравнения равносильны, т.е. либо имеют одни и те же корни, либо оба не имеют корней».

14 Способы выявления посторонних корней 1)выполняя преобразования уравнения, сохранять область определения исходного уравнения, т.е. записывать систему, состоящую из полученного уравнения и неравенств, задающих область определения исходного уравнения; 2)проверить полученные корни подстановкой в исходное (и только в исходное!) уравнение.

15 Пример 6(А). Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 2 x + log 2 (x + 2) =3. 1) (-; -2]; 2) (-2; 2); 3) [2; 4]; 4) (4; +). Решение.1 способ. Данное уравнение равносильно системе log 2 x(x + 2) = 3, x>0, x+2>0, которая равносильна системе log 2 x(x + 2) = 3, х >0. Решая уравнение log 2 x(x + 2) = 3, получаем: x = - 4 или х = 2. Число - 4 не удовлетворяет условию х > 0, т.е. является посторонним корнем. Число 2 удовлетворяет условию х > 0, значит, является корнем исходного уравнения. Этот корень принадлежит промежутку, указанному в третьем варианте ответа. Ответ: 3.

16 Пример 6(А). Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 2 x +log 2 (x +2) =3. 1) (-; -2]; 2) (-2; 2); 3) [2; 4]; 4) (4; +). 2 способ. Используя формулу: log а mn = log a m + log a n, данное уравнение можно представить в виде log 2 x(x + 2) = 3. 2 Далее получаем: х + 2х - 8 = 0. Следовательно, х = - 4 или х = 2. Проверка. Iog Iog 2 (2 + 2) = = 3, значит, число 2 - корень исходного уравнения. Выражения log 2 (-4) и log 2 ( ) не определены, следовательно, число посторонний корень. О т в е т: 3

17 Пример 7(А). Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения Iog 4 (2x - 3) - Iog 4 (3x - 2) = 1. 1) [-4; -1,5); 2) [-1,5; 0); 3) [0; 2); 4) корней нет. Решение. Воспользуемся свойством разности логарифмов и, учитывая область определения логарифмической функции, получим равносильную данному уравнению систему log 4 (2x - 3)/(3x - 2) = 1, 3x – 2 > 0. Из определения логарифма следует, что уравнение системы равносильно уравнению 2x - 3 = 4. 3x - 2 Число 0,5 его корень. Он не удовлетворяет неравенству системы. Таким образом, уравнение Iog 4 (2x - 3) - Iog 4 (3x - 2) = 1 не имеет корней. О т в е т: 4.

18 Замечание k Замена выражения log a m выражением к log a m, наоборот, при четных к может привести к потере корней. Избежать в этом случае потери корня можно двумя способами: 1) использовать определение логарифма, а не формулу степени логарифма; 2) использовать понятие модуля числа.

19 Пример 8(А). Укажите промежуток, которому принадлежит меньший корень уравнения 2 log 2 x = 4. 1) (- ; -2]; 2) (-2; 2); 3) [2; 4]; 4) (4; + ). Решение. Iспособ. По определению логарифма получаем 2 4 уравнение х = 2 равносильное данному. Полученное уравнение равносильно уравнению 2 х = 16, корнями которого являются числа 4 и - 4. Ответ: 1. II способ. Данное уравнение равносильно уравнению 2·1og 2 |x| = 4, а значит, и уравнению log 2 |x| = 2. По определению логарифма получаем равносильное последнему 2 уравнение |х| = 2, корнями которого являются числа 4 и - 4. Ответ: 1.

20 Пример 9(В). Найдите меньший корень уравнения lg(-x) = lg x 2 Решение. Так как логарифмическая функция определена на множестве положительных чисел, то -х > 0, или х < 0. Поэтому решения надо искать на множестве отрицательных чисел. Но тогда x 2 = - х и уравнение принимает вид lg(-x) = lg(-x). Сделав замену lg(-x) = t, приходим к уравнению t = t 2, корнями которого являются числа t = 0 и t = 1, откуда х = -1 или х = -10. В ответ запишем, как требуется в условии, меньший корень. Ответ: -10.

21 Пример 10(В). Решите уравнение Iog 3 (x + 2x)/log 3 (x - 4x - 4) = Iog 5 8/log 5 (x - 4x -4). Решение. В уравнении есть логарифмы с разными основаниями. Поэтому приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 3. Тогда log 5 8 = log 3 8/ log 3 5 и 2 2 log 5 (x - 4x -4) = log 3 (x - 4x - 4)/ log 3 5, а уравнение принимает вид Iog 3 (x + 2x)/ Iog 3 (x - 4x- 4) = log 3 8/ log 3 (x- 4x - 4). Далее получаем: 2 2 Iog 3 (x + 2x) = log 3 8, x + 2x = 8, откуда x = 2 или х = - 4. Однако при х = 2 значение выражения 2 х - 4х – 4 равно -8, поэтому число 2 не является корнем исходного уравнения. Ответ: - 4.

22 Пример 11(С). Решите уравнение 3 (105 – 8/log x 2) = 3 log 2 0,5x x. Решение. 1) Так как х основание логарифма, то х > 0, х 1. При таких значениях х определена правая часть уравнения и равносильны следующие преобразования частей уравнения: 3 4/3 8/log x 2 = 8log 2 x и 3log 2 0,5xx = 3 log 2 0,5x = -1 = 3 (Iog /3 log 2 x) = 4log 2 x - 3. Получаем уравнение (105 – 8/logx 2) = 4log 2 x -3.

23 2 2) Пусть t = log 2 x. Тогда 105 – 8t = (4t - 3), – 8t = 16t – 24t + 9, 2 16t – 16t - 96 = 0, 2 t – t – 6 = 0, t =3, t =-2. 3)Подставляем число - 2 вместо log 2 x в уравнение l05- 8 log 2 x = 4 log 2 x -3, получаем неверное равенство = -8 – 3. При t = 3 получаем = , 81 = 9, что верно. 3 4) Значит, log 2 x = 3, х = 2 = 8. Ответ: 8. Замечание. Можно было обозначить буквой t выражение 4log 2 x.

24 Пример 12(С). Решите уравнение 3 log 6 (3 – (3/(2x + 3))) = 4 log 6 (2 + 1/(x + 1)). Решение. Выполняя тождественные преобразования, получаем: 3(log log 6 ((x + 1)/(2x + 3))) = 4 log 6 ((x + 1)/(2x + 3)) -1 +3; log 6 ((x + 1)/(2x + 3)) = -4 log 6 ((x + 1)/(2x + 3)) +3; 7 1og 6 ((x + 1)/(2x + 3)) = 0. По определению логарифма: x + 1 = 1. 2x + 3 Решим полученное уравнение: x +1 = 2x +3 x = -2 2x +3 0; x 1,5. Итак, х = -2. Проверим найденный корень подстановкой в исходное уравнение: 3log 6 (3–3/(2(-2) + 3)) = 4 log 6 (2 + 1/((-2) + 1)). 3 log 6 6 = 4 log 6 l + 3; 3 = 3 верно, т.е. х = -2 корень исходного уравнения. О т в е т: -2.

25 Пример 13(С). Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение log 2 3 x – (2a + 3) log 3 x + a 2 + 3a = 0 имеет два различных корня, равноудаленных от точки х = 42. Решение. Введем обозначение t = log 3 x. Уравнение примет вид: t 2 - (2а + 3)t + а 2 + За = 0. Его корни числа t = а + 3 и t = а. Следовательно, log 3 x = а+3 или log 3 x = a. Отсюда получаем: x 1 = 3 a+3, x 2 = 3 a. Точка х = 42 равноудалена от точек х, и х 2, т.е. она является серединой отрезка с концами в этих точках. Воспользуемся формулой координаты середины отрезка (3 a a ) /2 = 42. Далее получаем: (( )* 3 a ) = 42, 3 a = 3, а = 1. Ответ: а = 3.

26 Логарифмические неравенства Между методами решений логарифмических уравнений и логарифмических неравенств есть существенные отличия: 1)для решения логарифмических неравенств необходимо установить характер монотонности соответствующей логарифмической функции в зависимости от величины её основания. 2)решением неравенства, как правило, является бесконечное множество чисел, и значит, о выполнении проверки найденных решений не может быть и речи, поскольку в отличие от уравнений это просто невозможно. Поэтому при решении логарифмических неравенств особое значение приобретает умение проводить равносильные преобразования неравенств.

27 Логарифмические неравенства При решении логарифмических неравенств необходимо учитывать, что 1. если а > 0, а 1, то log a f(x) b f(x) а b, если а > 1, 0< f(x) а b, если 0

28 Логарифмические неравенства g(x) h(x), h(x) > 0, f(x) > 1, 3. log f(x) g(x) log f(x) h(x) h(x) g(x), g(x) > 0, 0 < f(x) < 1, g(x) h(x), g(x) > 0, 4. log f(x) g(x) log f(x) h(x) f(x) > 1, h(x) g(x), h(x) > 0, 0 < f(x) < 1.

29 Неравенства. Методы решения логарифмических неравенств Имеется не менее 4 принципиально различных типов подхода к решению логарифмических неравенств: А)перебор случаев «основание больше единицы», «основание меньше единицы»; Б)переход к равносильным совокупностям систем неравенств, не содержащих логарифмов; В)обобщенный метод интервалов; Г)графический метод.

30 Логарифмические неравенства Решая логарифмические неравенства, нужно так же крайне аккуратно пользоваться свойствами логарифмов, т.е. формулами log a m*n = lоg a m + log a m, log a m/n = log o m - log a n, log a m k = k*log a m. Решениями могут быть лишь те значения переменных, при которых выражения, стоящие под знаком логарифма, принимают только положительные значения.

31 Пример 14(А). Решите неравенство log 5 (2x+3)>log 5 (x- 1). 1) (1; +); 2) (0; +); 3) (- ; -4); 4) (-4; +). Решение. Так как функция f(t) = log 5 t определена и возрастает на промежутке (0; +), то данное неравенство равносильно следующей системе 2x +3 > x – 1, x –1 > 0. Решая неравенства системы, получаем x > -4, x > 1. Таким образом, решением данного неравенства является промежуток (1; + ). Ответ. 1.

32 Пример 15(А). Решите неравенство log 1/2 (2x - 5) < -2. 1) (-;4,5); 2) (0;+); 3) (2,5; 4,5); 4) (4,5; +). Решение. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 1/2. Получим неравенство log 1/2 (2x - 5) < log 1/2 4. Так как функция f(t ) = log 1/2 t определена и убывает на промежутке (0; + ), то данное неравенство равносильно следующей системе 2х-5>4, 2х-5>0. Данная система равносильна неравенству 2х - 5 > 4, или х > 4,5. Таким образом, решением данного неравенства является промежуток (4,5; +). О т в е т: 4.

33 Решить неравенство: log 0,5х (0,25х 2 - 1,25х +1,5) 1. Решение: (подход Б). Данное неравенство равносильно совокупности следующих систем неравенств 0

34 Решить неравенство: log 0,5х (0,25х 2 - 1,25х +1,5) 1. Решение: (подход В). Функция f(х)=log 0,5х (0,25х 2 -1,25х+1,5) -1 определена и непрерывна х е (0; 2) и (3; +). Найдем ее нули: Iog 0,5х (0,25x 2 - 1,25х + 1,5) = 1, 0,25(х 2 - 7х + 6) = 0, х 1 = 1, х 2 = 6. Определяем знаки функции (рис.1). f(8) = Iog 4 7,5 - 1 > 0, f(4) 0, f(1,5) > 0, f(0,5) < 0. Значит, f(х) 1 х Є (0; 1] U (3; 6].

35 Решить неравенство: log 0,5х (0,25х 2 - 1,25х +1,5) 1 Решение: Найдем точки пересечения графиков у 1 = 0,5х и у 2 = 0,25х 2 1,25х + 1,5. 0,25х 2 - 1,25х + 1,5 = 0,5х, 0,25(х 2 - 7х + 6) = 0, х 1 = 1, х 2 = 6. Первый график прямая, второй график парабола, ветви вверх. Если 0 < у 1 < 1, то log у1 у 2 1 y 2 y 1 0 х 1. Если у 1 > 1, то log у1 у < х 6. Значит, log y1 у 2 1 x e (0;l] U(3;6]. подход Г)(

36 Функции Пример 19(А). Найдите область определения функции 4 у = 2 - log 03 х. 1) (0; +); 2) (0; 0,09]; 3) [0,09;+); 4) [0;+). 4 Решение. Функция f(t) = t определена на промежутке [0;+), поэтому 2- log 0,3 x 0, т.е. log 0,3 х 2. Представим правую часть полученного неравенства в виде логарифма с основанием 0,3: log 0,3 х log 0,3 0,09. Поскольку функция f(t) = log 0,3 t определена и убывает на промежутке (0; +), то данное неравенство равносильно неравенству х 0,09. Таким образом, решением данного неравенства является промежуток [0,09; + ). Ответ. 3.

37 Функции Задание 42(А). Укажите область определения функции у = Iog 3 (x + 3), график которой изображен на рис. 1. 1)(-3;+); 2) (-2;+); 3) (1; +;); 4) (-; +). Ответ:1.

38 Пример 20(В). Найдите наименьшее значение функции у = Iog 0,5 (0,25 - х 2 ). Решение. Функция у = log 0,5 t монотонно убывает на всей области определения. Поскольку область определения логарифмической функции множество всех положительных чисел, то 0,25 - х 2 > 0. Отсюда следует, что (х - 0,5)(х + 0,5) < 0, -0,5 < х < 0,5. Итак, функция у= Iog 0,5 (0,25 - х 2 ) определена на множестве (-0,5; 0,5). График квадратичной функции t = 0,25 - х 2 парабола, вершина которой находится в точке (0; 0,25), а ветви направлены вниз. Поэтому свое наибольшее значение 0,25 функция достигает при х = 0. При х е [0; 0,5] значения функции t = 0,25 - х 2 непрерывно убывают от 0,25 до 0, а при х е [0,5; 0] непрерывно возрастают от 0 до 0,25. Следовательно, на промежутке (0,5; 0] функция у = Iog 0,5 (0,25 - х 2 ) непрерывно убывает, принимая наименьшее значение у(0) =2, а на промежутке [0; 0,5) непрерывно возрастает, принимая наименьшее значение у(0) = 2. Итак, наименьшее значение заданной функции равно 2. О т в е т 2.

39 Пример 21 (С). Найдите множество значений функции 7 = log 0,1 (300/(1 + lg(100 + x 2 ))). Решение. 1) Сначала найдем множество значений функции у = х 2 : E(x 2 ) = [0; +), следовательно, E(100+х 2 ) = [100;+ ). 2) Так как функция у = Igt непрерывна и при неограниченном увеличении аргумента неограниченно возрастает, то E(lg(100 +x 2 )) = [lg100; +) = [2; +). Значит, Е(1 + lg(100 + х 2 )) = [3; +). 3) Так как функция у = 1/ t непрерывна и убывает на промежутке [3; +), то E(1/(1 + lg(100 + x 2 ))) = (0; 1/3], E(300/(1 + lg(100 + x 2 ))) = (0; 100]. Поскольку функция у = log 0,1 t непрерывна, убывает на (0; +) и принимает все значения из интервала (- ; +), то на промежутке (0; 100] она имеет наименьшее значение, равное log 0,1 100 = -2. Следовательно, E(y) = [log 0,1 100; +) = [-2; +). Ответ: [-2; +).

40 ЕГЭ Демонстрационнный вариант А(4). Укажите функцию, график которой изображен на рисунке. 1) у = 2 х 2) у = Iog 2 x 3) у = 0,5 х 4) у = Iog 0,5 x. На рисунке изображен график возрастающей функции, принимающей как положительные так и отрицательные значения (часть графика расположена над осью абсцисс). Из предложенных четырех функций оба эти свойства имеет только у = Iog 2 x. Ответ: 2.

41 ЕГЭ Демонстрационнный вариант В(6). Вычислите значение выражения log log log 7 6 Решение. Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем: log log 49 7 = log 7 (6) 2 - log 7 7 0,5. log 7 6 log 7 6 log 7 (7) 2 По свойству логарифма степени получаем: 2 log ,5 log 7 7 = 2 - 0,25=1,75 log log 7 7 Ответ: 1,75.

42 ЕГЭ Демонстрационнный вариант СЗ. Найдите все значения х > 3, при каждом из которых наибольшее из двух чисел а = log 3 x + 5 log x и b = 23 – log 2 3 x не меньше 7. Решение. Так как х > 3, то log 3 x >1. Далее в решении учитывая это условие 1) а 7 log 3 x + 5 log x log 3 x + 5*(log 3 27/log 3 x)-8 0 (log 2 3 x - 8 log 3 x + 15) 0 log 3 x 5 log 3 x log 3 x 3. 2)b log 2 3 x log 2 3 x 0 (4 – log 3 x)(4 + log 3 x) 0 log 3 x 4. 3) наибольшее из чисел а и b не меньше 7 тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них не меньше 7, т.е. когда а 7 log 3 x 5 log 3 x 5 х 243 b 7 log 3 x 3 log 3 x 4 x 81. log 3 x 4 Учитывая условие х 3, получаем 3 < x 81 или х 243. Ответ: 3 < x 81, х 243.