специальные вопросы ТВиМС часть1 распределения, связанные с нормальным лекция первая

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН Def - параметр сдвига, - параметр масштаба ~N(0;1) – стандартный нормальный закон

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Свойства нормального распределения: 1. ~N( ; 2 ), a, b => a +b~N(a +b;a 2 2 ) устойчивость относительно линейного преобразования. Так же этим свойством обладают распределения: ~U[m 1 ;m 2 ] => a +b~U[am 1 +b;am 2 +b] - равномерное ~Exp(, ) => a +b~ Exp(a ; a +b) - экспоненциальное ~L(, ) => a +b~L(a ; a +b) - Лапласа ~ ( ; ) => a +b~ (a +b;a ) - логистическое ~C( ; ) => a +b~C(a +b;a ) - Коши Найдите формулы плотностей и докажите, что свойство линейности выполняется, в т.ч. и для N( ; 2 )

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Свойства нормального распределения: Пример ~Exp(, ) => a +b~ Exp(a ; a +b) - экспоненциальное - характеризует время ожидания некоторого события - характеризует момент времени, с которого мы ожидаем проявление события a - изменение масштаба времени a +b – сдвиг момента времени (в новом масштабе), с которого будем ожидать появление события

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Свойства нормального распределения: 1.устойчивость относительно линейного преобразования Пример логистическое распределение: Докажите симметричность Найдите мат.ожидание

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Свойства нормального распределения: 1.устойчивость относительно умножения на константу. ~ P(k; ) => a ~ P(ak; ) - Парето ~ W(k; ) => a ~ W(k;a ) - Вейбула ~Г(k; ) => a ~Г(k;a ) – гамма-распределение Найдите формулы плотностей и докажите, что это свойство выполняется

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Свойства нормального распределения: Пример ~ P(k; ) => a ~ P(ak; ) - распределение доходов k – характеризует минимальный доход (единица измерения) - параметр формы ak – изменение единицы измерения

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО СЛОЖЕНИЮ Свойства нормального распределения: 2. i ~N( i ; i 2 ) - независимы => ~N( ; ): устойчивость по сложению.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО СЛОЖЕНИЮ Свойства нормального распределения: 2.Устойчивостью по сложению независимых с.в. обладают также: i ~B(n i ;p) => i ~B( n i ;p) - биномиальное i ~Poiss( i ) => i ~Pois( i ) - пуассоновское i ~Г(k i ; ) => i ~Г( k i ; ) – гамма распределение i ~ 2 (k i ) => i ~ 2 ( k i ) – Хи-квадрат Докажите это свойство для пуассоновского распределения i ~Exp( ;0) => i ~Г(k; ) – экспоненциальное сворачивается в гамма-распределение при суммировании

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО СЛОЖЕНИЮ Свойства нормального распределения: Примеры i ~B(n i ;p) => i ~B( n i ;p) - биномиальное p – вероятность успеха n – длина сери испытаний E i =p n i – ожидаемое число успехов не зависит от числа серий i ~Poiss( i ) => i ~Pois( i ) - пуассоновское - характеризует интенсивность потока событий E i = i – суммарная интенсивность нескольких потоков

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ Свойства нормального распределения: 3. ~N( ; 2 ) Правило нескольких сигм: P(| - |< ) 68.3% x= +/- - точка перегиба гауссианы P(| - |

ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, LN Def ~LN( ; 2 ) – логнормальное распределение с параметром сдвига и параметром масштаба, если =ln ~N( ; 2 )

ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, LN Плотность логнормального распределения Рассмотрим ~LN(0;1) ~N(0;1)

ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, LN Плотность логнормального распределения ~LN(0;1) ~N(0;1) ~LN( ; 2 ) ~N( ; 2 ) Докажите, используя линейность нормального закона

ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, LN Свойства логнормального распределения Докажите свойства (начните со случая ~LN(0;1) )

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Коши, С Def 1, 2 ~N(0;1) => = 1 / 2 ~C(0;1) – стандартное распределение Коши Def ~C( ; ) – распределение Коши с параметром сдвига и параметром масштаба, если d.d.f. :

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Коши, С Свойства распределения Коши: ~C( ; ) 1.Mo =Me = 2.Не существует ни одного момента! ( в т.ч. E, D, As, Ex - не определены) 3. ~C( ; ) => a +b~C(a +b;a ) 4. i ~C(0;1) i.i.d. => ( i )/n ~ C(0;1) Докажите свойства 1. и 3.

ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, Def ~Г(k; ) – Гамма-распределение с параметром формы k и параметром масштаба, если d.d.f :

ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, Свойства Гамма-распределения: Докажите свойства 1.-3.,6. и 8. (для 1. и 2. используйте индукцию и свойство 7.)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пирсона, 2 Def распределение Пирсона, d.f.=k – число степеней свободы (параметр формы)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пирсона, 2 Плотность распределения 2 (1) Рассмотрим ~N(0;1) = 2 ~ 2 (1)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пирсона, 2 Плотность распределения 2 (1) Рассмотрим ~N(0;1) = 2 ~ 2 (1)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пирсона, 2 Плотность распределения 2 (1) Рассмотрим ~N(0;1) = 2 ~ 2 (1)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пирсона, 2 Свойства распределения 2 (k)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пирсона, 2 Свойства распределения 2 (k) Все свойства (кроме 8.) – вытекают из двух:

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пирсона, 2 Свойства распределения 2 (k) Прямое доказательство: Докажите напрямую свойства 2., 3., 6.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Снедекора-Фишера, F Def F-распределение (Снедекора-Фишера), d.f.=(k 1 ;k 2 ) – число степеней свободы

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Снедекора-Фишера, F Свойства F-распределения (Снедекора-Фишера) Докажите свойства 3.-5.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Стьюдента, St Def распределение Стьюдента с d.f.=k (параметр формы):

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Стьюдента, St Def распределение Стьюдента с d.f.=k (параметр формы):

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Стьюдента, St Плотность распределения Стьюдента

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Стьюдента, St Свойства распределения St(k) Докажите свойства 4.-7.

КОНЕЦ ЛЕКЦИИ