Вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел вращения при помощи при помощи определенного интеграла

Если запастись терпением и проявить старание, семена знания непременно дадут добрые всходы. Ученья корень горек, да плод сладок. Леонардо да Винчи

План занятия: 1. Работа по тестовым заданиям. 2. Интеллектуальная разминка. 3. Повторение формул. 4. Решение упражнений с проверкой на компьютере.

Цель занятия: Закрепить практические навыки, умения вычислять площади плоских фигур и объёмов тел вращения с помощью определённого интеграла. Научится строить криволинейные трапеции, плоские фигуры и вычислять интегралы с помощью компьютера.

Архимед (Aρξιμηδηζ) (около 287–212 до н. э.), древнегреческий ученый, математик и механик. Развил методы нахождения площадей поверхностей и объемов различных фигур и тел. Его математические работы намного опередили свое время и были правильно оценены только в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Архимед – пионер математической физики. Математика в его работах систематически применяется к исследованию задач естествознания и техники. Архимед – один из создателей механики как науки. Ему принадлежат различные технические изобретения.

КАВАЛЬЕРИ Бонавентура (Cavalieri) Кеплер, Иоганн (Iohann Kepler) Пьер де Ферма́ (Pierre de Fermat) Блез Паскаль (Blaise Pascal)

Георг Фридрих Бернгард Риман (Georg-Friedrich-Bernhard Riemann) Иоганн Бернулли (Johann Bernoulli) Фурье, Жан Батист Жозеф (Jean Baptiste Joseph Fourier)

Лейбниц, Готфрид Вильгельм (Gottfried Wilhelm von Leibniz ) Ньютон, Исаак (Sir Isaac Newton)

Остроградский, Михаил Васильевич Чебышёв, Пафнутий Львович Буняко́всякий, Виктор Яковлевич Жордан, Мари Энмон Камиль (Jordan Marie Ennemond Camille)

Алгоритм решения задачи на вычисление площади плоской фигуры 1. Сделать приблизительный график заданных функций, ограничивающих площадь плоской фигуры. 2. Найти пределы интегрирования. 3. Выяснить какой формулой площади плоской фигуры удобно пользоваться в данном случае. 4. Вычислить площадь заданной фигуры.

Алгоритм решения задачи на вычисление объёмов тел вращения. 1. Сделать приблизительный график заданных функций, ограничивающих плоскую фигуру, при вращении которой образуется тело. 2. Найти пределы интегрирования. 3. Выяснить какой формулой объёма тела вращения удобно пользоваться в данном случае. 4. Вычислить объём тела вращения.

y x a b y = f(x)

x y c d

1. Река течёт лугом, образуя кривую Ось ОХ – линия шоссе. Какая площадь луга между шоссе и рекой ( единица длины – 1 км)?

2. Рассчитать расход древесины для изготовления заготовки боковой части стула, если толщина доски 2 см, а конфигурация заготовки задаётся линиями.

3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной кривыми

x=0, x=4, y=0 2. Вычислить объём тела, образованного от вращения вокруг оси OY плоской фигуры, ограниченной линиями y=2, y=5 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 1) 2) 3), x=0, x=2 3. Вычислить объём тела, образованного от вращения вокруг оси OX плоской фигуры, ограниченной линиями 1) 2)

0 L R r y x Определить объём бочки по размерам сечения, указанного на чертеже, где верхняя и нижняя кривые – параболы. Найти объём при R = 1 м, r = 0,75 м и L = 3 м. Домашнее задание: задание 1

y x M BC A D 0 Смотровой колодец, изготовленный из бетона, имеет форму усеченного конуса, узкая часть которого заканчивается люком. Размеры колодца (мм) указаны на чертеже. Определить массу колодца. (плотность бетона 2,45 т/м 3 ) задание 2

Найти площадь поперечного сечения канала оросительной системы, имеющего форму параболического сегмента, который изображен на чертеже. 1 м 0.6 м y x0 задание 3

Литература: 1. «Алгебра и начала анализа», под редакцией Г.Н. Яковлева, М., Наука», 1987, часть «Вища математика», П.П.Овчинников, В.М.Михайленко, К., «Техніка», 2004, частина «Вища математика. Збірник задач», П.П. Овчинников, В.М. Михайленко, К., «Техніка», 2004, частина «Вища математика», В.В.Пак, Ю.Л.Носенко, К., «Либідь», «Вища математика», під редакцією Г.Л. Кулініча, К., «Либідь», «Краткий курс высшей математики», В.А.Кудрявцев, Б.П.Демидович, М., «Наука», 1989.

Спасибо за внимание. Занятие окончено.