Применение производной для нахождения наибольших и наименьших величин Челбаева Вера Александровна МОУ ВСОШ 1 г. Каменка 2012 г.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке у=f(x)-непрерывна на отрезке [a,b]. Вывод: 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений 2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него. 3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.
Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значения функции 1. Найти производную f(x). 2. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [а; b]. 3. Вычислить значения функции у = f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках а и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет у наим ) и наибольшее (это будет y наиб).
Теорема Геометрическая иллюстрация
Задачи на оптимизацию Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме из трех этапов математического моделирования: 1)составление математической модели; 2) работа с моделью; 3) ответ на вопрос задачи.
Рекомендации по решению задач на оптимизацию Первый этап. Составление математической модели. 1) Проанализировав условия задачи, выделите оптимизируемую величину (О. В.), т. е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь. Обозначьте ее буквой у (или S, V, R, t в зависимости от фабулы). 2) Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить О. В., примите за независимую переменную (Н. П.) и обозначьте ее буквой х (или какой- либо иной буквой). Установите реальные границы изменения Н. П. (в соответствии с условиями задачи), т. е. область определения для искомой О. В. 3) Исходя из условий задачи, выразите у через х. Математическая модель задачи представляет собой функцию у = f(x) с областью определения X, которую нашли на втором шаге.
Рекомендации по решению задач на оптимизацию Второй этап. Работа с составленной моделью. На этом этапе для функции у = f(x), x X найдите у наим или у наиб, в зависимости от того, что требуется в условии задачи. При этом используются теоретические установки, которые были даны в пункте 1 данного параграфа. Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Здесь следует дать конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.
Задача Бак, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием должен вмещать 500 литров воды. При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшей?
Решение. Первый этап. Составление математической модели. 1. Оптимизируемая величина (О. В.) площадь поверхности бака, поскольку в задаче требуется выяснить, когда эта площадь будет наименьшей. Обозначим О. В. буквой S. 2. Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда. Объявим независимой переменной (Н. П.) сторону квадрата, служащего основанием бака; обозначим ее буквой х. Ясно, что х> 0. Других ограничений нет, значит, 0 < х < +. Границы изменения независимой переменной: X = (0; + ).
Первый этап 3. Если бак вмещает 500 л воды, то объем V бака равен 500 дм ³. Если h высота бака, то V = x²h, Поверхность бака состоит из квадрата со стороной х и четырех прямоугольников со сторонами х и Значит Итак Математическая модель составлена.
Второй этап. Работа с составленной моделью. На этом этапе для функции надо найти Для этого нужна производная функции: На промежутке критических точек нет, а стационарная точка только одна: S' = 0 при х = 10. Если х 10. S' >0
Второй этап. Значит, х = 10 единственная стационарная точка, причем точка минимума функции на заданном промежутке, а потому, согласно теореме, в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи. В задаче спрашивается, какой должна быть сторона основания, чтобы бак имел наименьшую поверхность. Мы выяснили, что сторона квадрата, служащего основанием такого бака, равна 10 дм. Ответ: 10 дм.