Содержание Определение Что значит сравнить числа Основные свойства Сложение и умножение неравенств Возведение в степень

Определение Число а больше числа b, если разность a-b положительна. Число a меньше числа b, если разность a–b отрицательна. Если a больше b, то пишут: a>b; если a меньше b, то пишут: a<b. Таким образом, неравенство a>b означает, что разность a – b положительна, т.е. a-b>0. Неравенство a<b означает, что a–b<0.

Сравнить числа a и b – значит выяснить, какой из знаков >, = или < нужно поставить между этими числами, чтобы получить верное соотношение. Это можно сделать, определив знак разности a-b. Например. Сравнить числа 1,5 и 1,25. Найдем их разность: 1,5-1,25=0,25 Так как 1,5-1,25>0, то 1,5>1,25.

Основные свойства числовых неравенств Теорема 1. Если а>b и b>с, то а>с. Доказательство: По условию a>b и b>c. Это означает, что a-b>0 и b-c>0. Складывая положительные числа а-b и b-c, получаем (а-b)+(b-с)>0,т.е. a-c>0. Следовательно, a>c.

Теорема 2. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Доказать: Если а > b и с - любое число, то а+с >b+с. Доказательство: Преобразуем разность (а+с) - (b+с)= а-b. По условию а > b, поэтому а-b - положительное число. Значит, и разность (а+с) - (b+с) положительна. Следовательно, а+с > b+с.

Следствие 1. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный. Доказать: Если a>b+c, то a-c>b. Доказательство: Пусть a>b+c. Прибавляя к обеим частям этого неравенства число –c, получаем a-c>b+c-c, т.е. a-c>b.

Теорема 3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Доказательство: 1) Если a>b и c>0, то ac>bc. По условию a-b>0 и c>0. Поэтому (a-b)c>0, т.е. ac-bc>0. Следовательно, ac>bc. 2) Если a>b и c 0 и c<0. Поэтому (a-b)c<0, т.е. ac-bc<0. Следовательно, ac<bc.

Следствие 2. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Например: Если разделить обе части неравенства 0,75 -1/3.

Сложение и умножение неравенств Теорема 1. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака. Доказать: Если a>b и c>d, то a+c>b+d. Доказательство: По условию a-b>0 и c-d>0. Рассмотрим разность (a+c)-(b+d)=a+c-b-d=(a-b)+(c-d). Tак как сумма положительных чисел положительна, то (a+c)- (b+d)>0, т.е. a+c>b+d.

Теорема 2. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака. Доказать: Если a>b, c>d и a,b,c,d – положительные числа, то ac>bd. Доказательство: Рассмотрим разность ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d). По условию a-b>0, c-d>0, b>0, c>0. Поэтому c(a-b)+b(c-d)>0, т.е. ac-bd>0, откуда ac>bd.

Пример 1. Пример 2. 5,2>3 1,5<1,7 + 3>2 - 6< - 2 8,2>5 - 4,5< - 0,3 Пример 3. Пример 4. 2,5>1,2 2,2<2,1 × 2>1 3<4 6,6<8,4 5>1,2

Возведение в степень числового неравенства Неравенство, у которого левая и правая части положительны, можно возводить в любую рациональную степень: если a > b > 0, r > 0, то a r > b r ; (1) если a > b > 0, r < 0, то a r < b r. (2)

Свойство (1): Пусть r=1/n, где n – натуральное число, большее 1, a>0, b>0. По условию a>b. Доказать: a 1/n > b 1/n Доказательство: Предположим, что это не верно, т.е. A 1/n b 1/n. Но тогда, возводя это неравенство в натуральную степень n, получим ab, что противоречит условию a>b. Итак, из a>b>0 следует, что a 1/n > b 1/n.

Свойство (2): Если r 0. По свойству (1) из условия a > b > 0 следует, что a -r > b -r. Умножая обе части этого неравенства на положительное число a r b r, получаем b r > a r, т.е. a r < b r. Итак, если обе части неравенства положительны, то при возведении его в положительную степень знак неравенства сохраняется, а при возведении в отрицательную степень знак неравенства меняется на противоположный.

Пример 1. Сравнить числа: и Так как, а, то. Возведя это неравенство в отрицательную степень, получаем