Объёмы многогранников Цель урока: повторить формулы объемов наклонной призмы и пирамиды, рассмотренные на уроках алгебры; применение полученных знаний при решении задач.

п письменно: 659(а), 666, 664

Проверка домашнего задания Два человека у доски : I II – 649(б), 648(в, г) Остальные решают задачу по готовому чертежу: Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольный параллелепипед, Найти: V. В А1А1 D С А B1B1 C1C1 D1D Решение:

Объём прямой призмы Теорема: Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту. 1. – прямая треугольная призма с объёмом V и высотой h. Проведём такую высоту треугольника АВС (BD), которая разделяет треугольник на два треугольника. (BB 1 D) разделяет данную призму на две призмы, основаниями которых являются прямоугольные треугольники ABD и BDC. Т. е. 2. Произвольную призму разобьём на треугольные призмы с высотой h.

Объём цилиндра Призма вписана в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра. Призма описана около цилиндра, если её основания описаны около оснований цилиндра. Высота любой призмы, вписанной в цилиндр или описанной около него, равна высоте самого цилиндра Теорема: Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n–угольную призму F n, а в эту призму впишем цилиндр Рп. Пусть V – объём цилиндра Р, V n – объем цилиндра Р п ; r п радиус цилиндра Р п. Так как объем призмы F n равен S n h, где S n площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму F n, которая, в свою очередь, содержит цилиндр Рп, то V n < S n h < V. (2) Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радиус r п цилиндра Р п стремится к радиусу r цилиндра Р h Цилиндр Поэтому объём цилиндра стремится к объёму цилиндра Р: Рп Из неравенства (2) следует, что Но Т.е. Итак, объём цилиндра равен:

Решение задач 665