Использование свойств функций при решении заданий из частей А и В ЕГЭ.

Требования, предъявляемые стандартом математического образования (базовый уровень) к умениям выпускника: определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; строить графики изученных функций; описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения; решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков.

Свойства, которые полезны при исследовании функции на монотонность без использования производных: если две функции возрастают (убывают) на некотором промежутке, то и их сумма также возрастает (убывает) на этом промежутке; если к тому же обе функции неотрицательны, то и их произведение возрастает (убывает) на этом промежутке; если функция y = f(x) положительна и возрастает на некотором промежутке, то функция убывает на этом промежутке; если обе функции y = f(x) и y = g(x) возрастают (убывают) и сложная функция y = f(g(x)) определена на некотором промежутке, то она возрастает на этом промежутке

Задание: найти наибольшее значение функции 1)y = 8-x убывает, а y = lgx возрастает, и поэтому y = lg(8-x) убывает; 2)y = 0,5x + 1 и возрастают, и поэтому возрастает,убывает; 3)y = 2-x убывает, а возрастает, и поэтому убывает. Значит, и вся функция, убывает как сумма убывающих функций, т.е. = -1.

«Полезные» неравенства. Неравенство между средним арифметическим средним геометрическим положительных чисел где > 0. Равенство достигается при Неравенство для суммы синуса и косинуса одного аргумента Неравенство для суммы двух взаимно обратных чисел: при x >0 и при x < 0, причем равенство достигается при

Пример 1. Решить уравнение. Решение: заметим, что левая часть уравнения не превосходит единицы, в то время как правая часть не меньше единицы. Следовательно, исходное уравнение имеет решение, только если обе его части равны единице. Это возможно только при х.=0. Ответ: х.=0. Ответ: х.=0.

Пример 2. Решить уравнение: Решение: так как Решение: так как то левая часть уравнения принимает значения от до 2. Для правой части (в силу неравенства для суммы двух взаимно обратных чисел) выполнено Поэтому уравнение имеет решения, если и только если одновременно выполнены два условия:

Решая эту систему, получаем Ответ:

Пример 3. При каких значениях параметра р система: имеет единственное решение? Решение: легко оценить правую и левую части первого неравенства системы. Квадратичная функция от х, расположенная в левой части неравенства, достигает своего наименьшего значения при х.=-р.

При этом правая часть неравенства (как можно убедиться с помощью введения дополнительного аргумента ) не превосходит Для того, чтобы исходная система имела единственное решение, необходимо, чтобы наименьшее значение левой части совпадало с наибольшим значением правой части, то есть чтобы выполнялось

Из последнего уравнения находим и Ответ:

К легкой задаче на экзамене надо относиться столь же серьёзно, как и к любой другой. В конце концов. Итоговой оценке совершенно все равно, почему она оказалась не столь высокой, какой могла бы быть: потому, что не смогли сделать сложную задачу, или потому, что «наврали» в простой.