Теорема Піфагора

Зміст розділу І Біографія Піфагора: Легенда про народження Піфагора Дитинство Піфагора Вперед до Єгипту Піфагор у полоні Повернення на Батьківщину Вірші Піфагора Теорема Піфагора

Легенда про народження Піфагора В VI столітті до нашої ери осередком грецької науки та мистецтва стала Іонія- група островів Егейського моря, які знаходяться біля берегів Малої Азії. Там у сімї золотих справ майстра Мнесарха народився син. За легендою, в Дельтах, куди приїхали Мнесарх з дружиною Парфенісою,- чи по справам, чи у весільну подорож оракул пророчив їм народження сина, який буде славитися віками своєю мудрістю, справами та красою. Бог Аполлон, вустами оракла, радить їм плити в Сірію. Пророцво збувається- в Сидоні Парфеніса народила хлопчика. І тоді за давньою традицією Парфеніса приймає імя Піфіада, на честь Аполлона Піфійського, а сина називає Піфагором, на честь пророцтва піфії.

У легенді нічого не сказано про рік народження Піфагора; історичні дослідження датують його появу на світ приблизно 580 роком до нашої ери. Повернувшись із подорожі, щасливий батько будує церкву Аполлону та оточує молодого Піфагора піклуваннями, які могли б сприяти виповненню пророцтва Аполлона.

Дитинство Піфагора Можливості дати сину гарну освіту та виховання у Мнесарха були. Як і будь-який батько, Мнесарх мріяв, що син буде продовжувати його справу- ремесло золотих справ майстра. Життя вирішило інакше. Майбутній математик та філософ вже в дитинстві виявив велику здатність до наук. У свого першого вчителя Гермодамаса Піфагор отримує знання основ музики та живопису. Для покращення памяті Гермодамас примушував його вивчати пісні з Одіссеї та Іліади. Перший вчитель навчив Піфагора любити природу та вивчати її таємниці.

Вперед до Єгипту! Пройшло кілька років, і за порадою свого вчителя Піфагор вирішує продовжити навчання в Єгипті, у жреців. Потрапити до Єгипту у той час було дуже важко, тому що країну практично закрили для греків. За допомогою вчителя Піфагору вдається залишити острів Самос. Але поки що до Єгипту далеко. Він живе на острові Лесбос у свого родича Зоїла. Там відбувається знайомство Піфагора з філософом Ферекідом- другом Фалеса. У Ферекіда Піфагор навчається астрології, таємницям чисел, медицині та іншим обовязковим на той час наукам. Піфагор прожив на Лесбосі кілька років. Звідти шлях Піфагора лежить у Мілет до відомого Фалеса, засновника першої в історії філософської школи

Піфагор у полоні Навчання Піфагора в Єгипті сприяє тому, що він стає одним із найбільш освічених людей свого часу. До цього періоду відноситься подія, яка змінила все його майбутнє життя. Помер фараон Амазіс, а його наступник по трону не сплатив щорічну данину Камбізу, персидському царю, що служило достатнім приводом для війни. Перси не помилували навіть священні храми. Піддалися гонінням і жреці: їх вбивали або брали в полон. Так потрапив у персидський полон і Піфагор.

Повернення на Батьківщину Дванадцять років знаходився у вавилонському полоні Піфагор, доки його не звільнив персидський цар Дарій Гістасп, прочувший про відомого грека. Піфагору вже 60, він вирішує повернутися батьківщину, щоб прилучити до набутих знань свій народ.

Досить швидко він здобуває велику популярність серед населення. Ентузіазм населення настільки великий, що навіть дівчата та жінки порушували закон, заборонявший їм знаходитися на зборах. Одна з таких порушниць, дівчина на імя Теано, незабаром стає дружиною Піфагора. Досконало володіючи методами єгипетських жреців, Піфагор очищував душі своїх слухачів, вигоняв вади з серця та наповнював уми світлою правдою.

Вірші Піфагора В Золотих віршах Піфагор показав ті моральні правила, суворе виконання яких призводить душі помилившихся до ідеалу. Ось кілька з них: Роби лиш то, що в майбутньому не засмутить тебе. Не роби ніколи того, що не знаєш. Але вчись усьому, що потрібно знати, і тоді будеш вести спокійне життя. Не зневажай здоровям свого тіла. Давай йому вчасно їжу і пиття, і вправи в яких воно потребує. Привчайся жити просто. Не зачиняй очей, коли хочеш спати, не розглянувши усіх своїх вчинків у минулий день.

Теорема Піфагора Піфагорійці створили першу математичну теорію музики. У якості символа піфагорійці вибрали пятипалу зірку, хоч сам Піфагор казав, що з усіх фігур найкраще-коло, а з тіл-куля. У той же час серед геометричних теорем піфагорійців немає теореми про коло. Вони займалися в основному багатокутниками. Наприклад, вони вміли будувати багатокутник, подібний одному з двох заданих багатокутниківі одночасно рівний іншому.

Ми з вами навчимося легко та просто доводити теорему Піфагора багатьма цікавими способами, потренуємось розвязувати задачі на цю тему та з'ясуємо де ж використовується ця теорема на практиці.

Зміст розділу ІІ Теорема Піфагора Доведемо теорему Теорема Піфагора через площу Це цікаво Теорема Піфагора в давнину Теорема Піфагора у вавілонян Інопланетяни і теорема Піфагора Задачі на теорему Піфагора

Теорема У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Графічно це можна зобразити так: а² + b ² = c²

Доведемо теорему На малюнку показано прямокутний трикутник ABC(кут ACB = 90 градусів). Доведемо, що AC² + BC ² = AB². Проведемо висоту CO.

Поїхали далі Застосувавши, раніше вивчену теорему про метричні співвідношення у прямокутному трикутнику, отримуємо: AC²= AD * AB BC ²= DB * AB Звідси AC² + BC ²= AD*AB + DB*AB. Далі, AC² + BC ²= AB (AD + DB) = AB²

Якщо в прямокутному трикутнику довжини катетів дорівнюють a і b, а довжина гіпотенузи дорівнює c, то теорема Піфагора може бути записана так: а² + b ² = c²

Продовжимо доведення Теорема Піфагора дає змогу за двома сторонами прямокутника знайти його третю сторону: C= а² + b ² a= c²- b ² b= c²- а²

З рівності а² + b ² = c² також випливає, що c² а² і c² b ², звідси c а і c b, тобто гіпотенуза більша за буд-який катет.

Відрубав Іван-царевич драконові голову, а у нього дві нові виросли. На математичній мові це означає: провели в трикутнику АВС висоту CD, і утворилися два нові прямокутні трикутники ADC і BDC. Пригадавши цей малюнок, ви пригадаєте додаткову побудову і початок доведення теореми.

Теорема Піфагора через площу Передбачають, що за часів Піфагора теорема звучала по-іншому: "Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сума площ квадратів, побудованих на його катетах". Дійсно, с ² – площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, а ² і b ² – площі квадратів, побудованих на катетах.

Це цікаво! Гляньте, а ось і "Піфагорові штани на всі боки рівні". Такі вірші придумували учні середніх століть при вивченні теореми; малювали шаржі. Ось, наприклад, такі:

Як використовували теорему Піфагора в давнину На думку Кантора гарпедонапти, або "натягувачі мотузок", будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників із сторонами 3, 4 і 5. Дуже легко можна відтворити їх спосіб побудови. Візьмемо мотузок завдовжки в 12 м. і прив'яжемо до неї по кольоровій смужці на відстані 3м. від одного кінця і 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться поміщеним між сторонами завдовжки в 3 і 4 метри.

Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їх спосіб побудови ставав зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, вживаним всіма теслярами. І дійсно, відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент, наприклад малюнки, що змальовують столярну майстерню.

Теорема Піфагора у вавілонян Дещо більше відомо про теорему Піфагора у вавілонян. У одному тексті, відношуваному до часу Хаммурабі, тобто до 2000 р. до н. е., приводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника. Звідси можна зробити вивід, що в Двуречье уміли виробляти обчислення з прямокутними трикутниками, принаймні в деяких випадках.

Інопланетяни і теорема Піфагора Паризькою академією наук була встановлена премія в франків тому, хто перший встановить зв'язок з яким-небудь мешканцем іншого небесного тіла; ця премія все ще чекає щасливця. Жартома, хоча і не зовсім безпідставно, було вирішено передати мешканцям Марса сигнал у вигляді теореми Піфагора.

Невідомо, як це зробити; але для всіх очевидно, що математичний факт, виразимого теоремою Піфагора має місце усюди і тому схожі на нас мешканці іншого світу повинні зрозуміти такий сигнал.

Давайте потренуємось З а д а ч а 1 Розв'язання СВ² + АС² = АВ² Отже АВ²= = = 10²= АВ² Звідси АВ = 10

З а д а ч а 2 А цю задачу спробуємо розв'язати без підказок.

З а д а ч а 3

З а д а ч а 4

Побудуємо прямокутні трикутники та виміряємо гіпотенузу Використовуйте таблицю: а1268 b5815 с???

Завдання індійського математика XII століття Бхаськари "На березі ріки зростала тополя самотня. Раптом вітру порив його ствол надломал. Бідна тополя впала. І кут прямий з течією річки його ствол складав. Запам'ятай тепер, що в цьому місці річка В чотири лише фута була широка Верхівка схилилася в краю річки. Залишилися три фути всього від ствола, Прошу тебе, скоро тепер мені скажи: В тополі як велика висота?"

Завдання з підручника "Арифметики" Леонтія Магніцкого "Випало якось людині до стіни сходи поставити, стіни ж тоя висота є 117 стоп. А сходи довготі 125 стоп. І ведати хоче, скільки стоп, від сходів до нижнього кінця стіни йому мати"

Використана література: Підручник Геометрія 8 клас (Мерзляк, Полонський, Якір)