1. Введение.Введение. 2. Недостатки классической двоичной системы счисления.Недостатки классической двоичной системы счисления. 3. Первый недостаток.Первый недостаток. 4. Второй недостаток.Второй недостаток. 5. Использование уравновешенной троичной системы счисления.Использование уравновешенной троичной системы счисления. 6. ЭВМ «Сетунь».ЭВМ «Сетунь». 7. Использование фибоначчиевой системы счисления.Использование фибоначчиевой системы счисления. 8. Недвоичные компьютерные арифметики.Недвоичные компьютерные арифметики. 9. Заключение.Заключение.

В каждой области науки и техники существуют фундаментальные идеи или принципы, которые определяют ее содержание и развитие. В компьютерной науке роль таких фундаментальных идей сыграли принципы, сформулированные независимо друг от друга двумя крупнейшими учеными XX века американским математиком и физиком Джоном фон Нейманом и советским инженером и ученым Сергеем Александровичем Лебедевым. Джон фон Нейман ( ) С. А. Лебедев ( )

Центральное место среди «принципов Неймана-Лебедева», определяющих архитектуру ЭВМ, занимает предложение об использовании двоичной системы счисления. Это предложение было обусловлено рядом обстоятельств: простотой выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления ее «оптимальным» согласованием с булевой логикой простотой технической реализации двоичного элемента памяти (триггера).

Первым из них является так называемая проблема представления отрицательных чисел. Второй недостаток двоичной системы счисления получил название нулевой избыточности.

Как известно, отрицательные числа непосредственно не могут быть представлены в двоичной системе счисления, использующей только две цифры 0 и 1. Перед модулем отрицательного числа необходимо ставить знак «минус». Это влечет за собой необходимость анализировать знаки операндов при выполнении арифметических операций, что снижает скорость обработки информации. Для того чтобы не выполнять анализ операндов, был разработан и реализован способ представления целых отрицательных чисел в виде дополнительного кода, что существенно упростило схему выполнения арифметических операций, но затруднило восприятие записи отрицательных чисел.

Второй недостаток двоичной системы особенно неприятен при хранении и передаче двоичных кодов. Нулевая избыточность (т. е. отсутствие избыточности) двоичного представления означает, что в системе счисления отсутствует механизм обнаружения ошибок, которые, к сожалению, неизбежно возникают в компьютерных системах под влиянием внешних и внутренних факторов.

В условиях, когда человечество все больше и больше зависит от надежности работы компьютерных систем (управления ракетами, самолетами, атомными реакторами, банковскими системами), вопрос об эффективных механизмах обнаружения ошибок выдвигается на передний план. Ясно, что для компьютеров, основанных на двоичной системе счисления, не всегда можно эффективно решать эту проблему. Попытка преодолеть эти и другие недостатки двоичной системы счисления стимулировала использование в компьютерах Других систем счисления и развитие собственно теории систем счисления.

Для преодоления недостатков использования двоичной системы для кодирования информации уже на этапе зарождения компьютерной эры был выполнен ряд проектов и сделано несколько интересных математических открытий, связанных с системами счисления. Пожалуй, наиболее интересным проектом в этом отношении является троичный компьютер «Сетунь», разработанный в 1958 г. в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова под руководством Н. П. Брусенцова (Сетунь название речки, протекающей неподалеку от МГУ).

В ЭВМ «Сетунь» применялась уравновешенная (симметричная) троичная система счисления для представления чисел, использование которой впервые в истории компьютеров поставило знак равенства между представлением отрицательных и положительных чисел, позволило отказаться от различных «ухищрений», используемых для представления отрицательных чисел. Это обстоятельство, а также использование «троичной логики» при разработке программного обеспечения привело к созданию весьма совершенной архитектуры компьютера.

ЭВМ «Сетунь» является наиболее ярким примером, подтверждающим влияние системы счисления на архитектуру компьютера.

Положительные десятичные числа Положительные троичные уравновешенные числа Отрицательные троичные уравновешенные числа Отрицательные десятичные числа Приведем примеры записи некоторых чисел в уравновешенной троичной системе.

Из приведенного примера понятно, почему эта система счисления называется, уравновешенной или симметричной. Главная особенность уравновешенных систем счисления при выполнении арифметических операций используется «правило знаков».

На заре компьютерной эры было сделано еще два открытия в области позиционных способов представления чисел, которые, однако, малоизвестные и в тот период, не привлекли особого внимания математиков и инженеров. Речь идет о свойствах фйбоначчиевой системы счисления и системы счисления золотой пропорции.

В последние десятилетии XX века группой математиков под руководством профессора А.П. Стахова в СССР были получены чрезвычайно интересные результаты, связанные с решением проблемы надежности хранения, обработки и передачи информации в компьютерных системах. Математиками было предложено использовать в качестве системы счисления в компьютерах фибоначчиеву систему. Напомним, что алфавитом этой системы являются цифры 0 и 1, а базисом последовательности чисел Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

Основное преимущество кодов Фибоначчи для практических применений состоит в их «естественной» избыточности, которая может быть использована для целей контроля числовых преобразований. Эта избыточность проявляет себя в свойстве множественности представлений одного и того же числа. Например, число 30 в коде Фибоначчи имеет несколько представлений: 30= fib= fib=111101fib

При этом различные кодовые представления одного и того же числа могут быть получены друг из друга с помощью специальных фибоначчиевых операций свертки (011 -> 100) и развертки (100 -> 011), выполняемых над кодовым изображением числа. Если над кодовым изображением выполнить все возможные свертки, то мы придем к специальному фибоначчиевому изображению, называемому минимальной формой, в которой нет двух рядом стоящих единиц.

Если же в кодовом изображении выполнить все возможные операции развёртки, то придём к специальному фибоначчиевому изображению, называемому максимальной или развёрнутой формой, в которой рядом не встречаются два нуля.

При разработке вычислительной техники перед математиками всегда стоит сложнейшая проблема создание эффективных (их часто называют «предельными») алгоритмов выполнения арифметических операций в компьютере.

В рамках решения этой проблемы учеными были придуманы новые системы счисления и разработаны компьютерные арифметики на их основе, которые позволяют построить вычислительные устройства, быстродействие и надежность которых превосходят вычислители, основанные на двоичной арифметике. К таким системам счисления можно отнести непозиционную систему остаточных классов, некоторые иерархические системы счисления и др.

Иерархические системы счисления конструируются на основе идеи соединения позиционных и непозиционных систем счисления, при этом они должны сочетать в себе положительные стороны включенных в них систем и быть свободными от их недостатков.

Принцип построения иерархических систем в целом прост. Выбирается некоторая внешняя система счисления А с алфавитом а. Цифры этой системы записываются в виде слов (кодов) другой (внутренней) системы счисления В с алфавитом р. В качестве примера такой системы можно привести известную вам двоично-десятичную систему, применяемую для представления десятичных чисел в некоторых компьютерах.

Система остаточных классов (СОК) это непозиционная система счисления, числа в которой представляются остатками от деления на выбранную систему оснований Р1, Р2, …,Рn и являются взаимно простыми числами. Операции сложения, вычитания и умножения над числами в СОК производятся независимо по каждому основанию без переносов между разрядами.

Такие операции, как деление, сравнение и др., требующие информации о величине всего числа, в СОК выполняются по более сложным алгоритмам. И в этом заключается существенный недостаток данной системы счисления, сдерживающий ее широкое применение в качестве компьютерной.

Однако сегодня в современных компьютерах при работе с большими и супер большими числами используют СОК, ибо только СОК-арифметика позволяет получать результаты вычислений в реальном времени.

В таких случаях в качестве оснований СОК берут величины, близкие к 2m( m-двоичная разрядность компьютера), например, 2m-1, 2m-1+1 и т. д. Начиная с середины прошлого столетия ученые многих стран мира, включая и нашу, занимаются проблемой повышения скорости «неудобных» операций в СОК. Сама же система остаточных классов применяется в вычислительных системах достаточно широко уже несколько десятилетий.

Сегодня многими учеными высказывается утверждение, что элементная база компьютерной техники, основанная на двоичном кодировании, скоро достигнет границы своих возможностей, и тогда, скорее всего, дальнейшее развитие этой области науки и техники будет связано с новыми математическими результатами в области кодирования информации.

Ситуация резко изменилась в результате появления современных компьютеров. Именно в информатике опять проявился интерес к способам представления чисел и к новым компьютерным арифметикам. Дело в том, что, как м я уже говорила, классическая двоичная система счисления обладает рядом принципиальных недостатков, главными из которых являются проблема представления отрицательных чисел и нулевая избыточность.

В связи с этим изучение основ построения систем счисления, свойств различных систем счисления представляет сегодня не только научный, но и практический интерес.

В главе «Системы счисления» вы получили представление о многообразии способов записи чисел, познакомились с различными типами позиционных систем счисления (традиционными, или Р-ичными, смешанными, нетрадиционными), подробно рассмотрели Р-ичные системы счисления: способы представления произвольных чисел и арифметические операции в Р-ичных системах счисления, алгоритмы перевода чисел из одной системы счисления в другую и т.д.

Особое внимание было уделено месту и роли систем счисления в современных компьютерах. Вы узнали об основных недостатках использования двоичной системы для кодирования информации в компьютерах.

В заключение хотелось бы отметить, что научные исследования в области систем счисления продолжаются. Математики, например, изучают нега-позиционные системы счисления, основаниями которых являются целые отрицательные числа, а также системы с основанием, содержащим мнимую единицу и т.д. Не исключено, что кому-то из вас удастся сказать своё слово в этих областях математики и информатики.