Системы счисления

Все есть число", говорили пифагорийцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами. Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления. Все есть число", говорили пифагорийцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами. Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек.

Непозиционные системы счисления В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки иероглифы. Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной

Римская система счисления. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100(С), 500(D) и 1000(М) стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum сто, Demimille половина тысячи, Мille тысяча). В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100(С), 500(D) и 1000(М) стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum сто, Demimille половина тысячи, Мille тысяча). При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Десятичное число 99 имеет следующее представление: XCIХ = 10+(100-1)+10. Десятичное число 99 имеет следующее представление: XCIХ = 10+(100-1)+10.

Алфавитные системы счисления. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита.

В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1, 2,..., 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, например a = 1, b = 2, g = 3 и т.д. Для обозначения чисел 10, 20,..., 90 применялись следующие 9 букв (i = 10, k = 20, l = 30, m = 40 и т.д.), а для обозначения чисел 100, 200,..., 900 последние 9 букв (r = 100, s = 200, t = 300 и т.д.). Например, число 141 обозначалось rma. В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1, 2,..., 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, например a = 1, b = 2, g = 3 и т.д. Для обозначения чисел 10, 20,..., 90 применялись следующие 9 букв (i = 10, k = 20, l = 30, m = 40 и т.д.), а для обозначения чисел 100, 200,..., 900 последние 9 букв (r = 100, s = 200, t = 300 и т.д.). Например, число 141 обозначалось rma.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков: Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков: 1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел. 1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел. 2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа. 2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа. 3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. 3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Позиционные системы счисления Основные достоинства любой позиционной системы счисления простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел. Основные достоинства любой позиционной системы счисления простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы. Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления Основание позиционной системы счисления это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.

За основание системы можно принять любое натуральное число два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем, наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, пятеричная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.). За основание системы можно принять любое натуральное число два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем, наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, пятеричная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.).

Примеры СС: Восьмеричная система счисления. Восьмеричная система счисления. Основание: q=8. Основание: q=8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Шестнадцатеричная система счисления. Шестнадцатеричная система счисления. Основание: q=16. Основание: q=16. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,1, …9. Для записи остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита. Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,1, …9. Для записи остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Число в развернутой форме В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем виде: А q = ± (a n-1 q n-1 +a n-2 q n a 0 q 0 +a -1 q -1 +a -2 q a -m q -m ) Здесь А само число, q основание системы счисления, a i цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления, n число целых разрядов числа, m число дробных разрядов числа.

Свернутой формой записи числа называется запись в виде: A=a n-1 a n-2...a 1 a 0,a -1...a -m Пример: А 10 =4718,63 10 ; А 2 =1001,1 2 ; А 8 =7764,1 8 Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

Число в развернутой форме запишется так:

Перевести число из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной и т.д ) системы в десятичную А 2 =1 · · · · · 2 -1 = 8+1+0,5 = 9,5 10. А 8 =7 · · · · · АF 16 = 3 · · · 16 0 Записав число в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления.