СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Содержание I. Виды и методы решения систем 1. Подстановка 2. Алгебраическое сложение 3. Деление одного уравнения на другое 6. Теорема Виета 5. Замена совокупностью систем 4. Выделение полного квадрата 7. Замена переменной 8. Однородное 9. Симметричные (специальная замена) Основные определения и понятия

Если ставиться задача найти множество общих решений двух или нескольких уравнений с двумя ( и более ) переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Решением системы с двумя переменными называется пара чисел, которая является решением каждого уравнения. Решить систему – значит найти множество всех ее решений, или доказать что их нет. Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают.

I. Виды и методы решения систем 1. Подстановка x 2 -3xy-2y 2 =2 x+2y=1 x=1-2y (1-2y) 2 -3(1-2y)y-2y 2 =2 1-4y+4y 2 -3y+6y 2 -2y 2 =0 8y 2 -7y-1=0 D=49+32=81 y 1 =1; y 2 =-1/8 x=-1 y=1 x=- 5/4 y= - 1 /8 или Ответ: (-1;1); (-5/4;-1/8)

I. Виды и методы решения систем 2. Алгебраическое сложение x 2 -2y 2 =14 x 2 +2y 2 =18 2x 2 =32 x=4 или x=-4 Ответ: (4;1); (4;-1); (-4;1); (-4;-1) x=4 2y 2 =18-x 2 x=-4 2y 2 =18-x 2 x=4 y=1 x=4 y=-1 x=-4 y=1 x=-4 y=-1 или

I. Виды и методы решения систем 3. Деление одного уравнения на другое x 2 -y 2 =24 x-y=4 Разделим первое уравнение на второе Ответ: (5;1) x+y=6 x-y=4 x=5 y=1

I. Виды и методы решения систем 4. Выделение полного квадрата x 2 +y 2 =25 xy=12 Умножим второе уравнение на 2. Результат сначала сложим с первым, а потом вычтем из первого. Ответ: (4;3); (3;4); (-3;-4); (-4;-3) x 2 +y 2 +2xy=49 x 2 +y 2 -2xy=1 (x+y) 2 =49 (x-y) 2 =1 1. x+y=7 или x+y=-7 2. x-y=1 или x-y=-1 x+y=7 x-y=1 x+y=7 x-y=-1 x+y=-7 x-y=1 x+y=-7 x-y=-1 или x=4 y=3 x=3 y=4 x=-3 y=-4 x=-4 y=-3 или

I. Виды и методы решения систем 5. Замена совокупностью систем xy+x 2 =10 xy+y 2 =15 (x+y) 2 =25 (x+y)(x-y)=-5 x+y=5 5(x-y)=-5 x+y=-5 5(x-y)=-5 или Ответ: (2;3); (-2;-3) 1. x+y=5 или x+y=-5 2. (x-y)(x-y)=-5 x=2 y=3 x=-2 y=-3

I. Виды и методы решения систем 6. Теорема Виета x+y=8 xy=20 Ответ: (-2;10); (10;-2) x=-2 y=10 x=10 y=-2 или

I. Виды и методы решения систем 7. Замена переменной 4 x-y 12 x+y + =3 8 x-y 18 x+y + =-1 1 x-y а= 1 x+y b=b= 4a+12b=3 8a-18b=-1 b=1/6 4a+12b=3 -42b=-7 b=1/6 a=1/4 x=5 y=1 Ответ: ( 5 ; 1 )

I. Виды и методы решения систем 8. Однородное x 2 -xy-2y 2 =0 x 2 +2y 2 =3 x 2 - xy -2 y 2 =0 | разделим на y 2 =0 в данной системе x=2y (2y) 2 +2y=3 x y ( ) =0 x y x y =a=a a 2 -a-2=0 a 1 =-1; a 2 =2 x y =2=2 x y = -1 или x=2y x=-y x=-1 y=1 x=1 y=-1 x= 2 y= 1 2 или x= - 2 y= Ответ: ( 2; ); (- 2; - ); (-1;1); (1;-1) 1 2 или 1 2

I. Виды и методы решения систем 9. Симметричные ( специальная замена ) 2(x+y)=3xy x 2 +y 2 -x-y=2 2a=3b a 2 -a-2b=2 a=3 b=2 a=-2-3 b=-4/9 или x+y=3 xy=2 x+y=-2/3 xy =-4/9 или x 2 +2/3 x -4/9=0 умножим на 9 9 x 2 +6 x -4=0 D 1 =9+36=45 x 1 = ; x 2 = (1;2); (2;1) Ответ: (1;2); (2;1); ( ; );( ; ) x 2 +y 2 -x-y+2xy+y 2 -(x+y)-2xy= =(x+y) 2 -(x+y)-2xy x+y=a ; xy=b ( ; );( ; ) b=2/3a a 2 -a-4/3a=2 | умножим на 3 3 a 2 -7a-6=0 D=49+72=121 a 1 =3; a 2 =-2/3