Пребудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век.

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень. Иоганн Кеплер

Историческое место дата 1Древний Китай (математическая книга Чу-пей) ~2400 г. до н. э. 2Древний Египет (гарпедонапты или "натягиватели веревок") 2300 г. до н. э. 3Вавилон (Хаммураби )2000 г. до н. э. 4Древняя Индия (сборник Сульвасутра )600 г. до н. э. 5Пифагор 570 г. до н. э.

Исторический обзор начнём с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести способ построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 и 4 м от одного конца. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

В самом древнем индийском геометрическом сборнике «Сульвасутра» («Правила верёвки», 600 год до н.э.), представляющем собой своеобразную инструкцию по сооружению алтарей в храмах, даются правила построения прямых углов при помощи верёвки с узлами, расстояния между которыми равны 15, 36 и 39 палас (мера длины).

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал её полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал".

Насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря такому количеству доказательств теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит: "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так: Also, wird das vierecke Feld, gemessen an der langen Wand, so also gross ist als bei beide Vierecke, bei zwei werden gemessen von den zwei Wanden des deren, bei zwei gemeinde, tretten in dem rechten Winkel. В переводе это означает: "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".

В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол". Чертёж к теореме Пифагора в средневековой арабской рукописи

Существует три формулировки теоремы Пифагора: 1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 2. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. 3. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равно составлен с квадратами, построенными на катетах.

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение не найдено и поныне. Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение а 2 +b 2 =c 2. Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (а 2 +b 2 =c 2 ) называются пифагоровыми тройками. В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами а, b и целочисленной гипотенузой c.

Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей, которые мы перечислим без доказательств: Один из «катетов» должен быть кратным трём. Один из «катетов» должен быть кратным четырём. Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти. а b c

Древневавилонский клинописный текст, содержащий 15 наборов пифагоровых троек, среди которых (четвёртая строка) есть тройка 12709, 13500, 18541: =

Вот и "Пифагоровы штаны во все стороны равны". Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы; рисовали шаржи.

Это прямоугольный треугольник ГИПОТЕНУЗА КАТЕТ

Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна a + c.

В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c. В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c. Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c.

Дано: ABC- прямоугольный треугольник Доказать: S ABDE =S ACFG +S BCHI

Пусть ABDE-квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC, а ACFG и BCHI- квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G.

Очевидно, что углы CAE=GAB(=A+90°); отсюда следует, что треугольники ACE и AGB(закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA; они имеют общее основание AE и высоту AP, опущенную на это основание, следовательно S PQEA =2S ACE Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, S FCAG =2S GAB Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.

Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: AB 2 =AC 2 +BC 2 Доказательство: 1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С. 2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следует AB*AD=AC 2. 3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значит AB*BD=BC 2. 4) Сложив полученные равенства почленное, получим: AC 2 +BC 2 =АВ*(AD + DB) AB 2 =AC 2 +BC 2. Что и требовалось доказать.

Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: BC 2 =AB 2 +AC 2 Доказательство: 1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников: S ABED =2*AB*AC/2+BC 2 /2 3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна: S ABED = (DE+AB)*AD/2. 4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим: AB*AC+BC 2 /2=(DE+AB)(CD+AC)/2 AB*AC+BC 2 /2= (AC+AB) 2 /2 AB*AC+BC 2 /2= AC 2 /2+AB 2 /2+AB*AC BC 2 =AB 2 +AC 2. Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.

Дано: ABC - прямоугольный С=90 С EF PO||EF MN||EF CD EF. Доказать: c²=a²+ b² Доказательство: 1) Δ1 совпадает с Δ1 (при повороте друг друга на 90°) Δ1= Δ1 2) Δ2 совпадает Δ2 (при осевом отображении относительно оси EF и параллельном переносе) Δ2=Δ2 3)При параллельных переносах и поворотах совпадают и все остальные треугольники они тоже равны между собой 4) Из (1), (2) и (3) c²=a²+ b²

Дано: ΔABC – прямоугольный С=90 Доказать: АВ 2 = АС 2 + ВС 2 Доказательство: 1) Д. п. CH-высота СН ˔ АВ 2) ΔACH подобен ΔABC (по 2 углам) 3) ΔCBH подобен ΔABC (по 2 углам) 4) | BC | = a, | AC | = b, | AB | = c 5) a²+ b² = c²

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Дано: ΔABC A C =AC B C =BC AB²=AC²+BC² Доказать: С=90 Доказательство: 1) Р/м ΔA B C - прямоугольный C =90 A C =AC B C =BC 2) A B ²=A C ²+B C ² A B ²=AC²+BC² 3) AC²+BC²=AB² A B ²=AB² A B =AB 4) Р/м ΔABC и ΔA B C A C =AC B C =BC ΔABC=ΔA B C (по ІІІ признаку) С= C =90 A B =AB

Уделом истины не может быть забвенье, Как только мир её увидит взор, И теорема та, что дал нам Пифагор, Верна теперь, как в день её рожденья. За светлый луч с небес вознес благодаренье Мудрец богам не так, как было до тех пор. Ведь целых сто быков послал он под топор, Чтоб их сожгли как жертвоприношенье. Быки с тех пор, как только весть услышат, Что новой истины уже следы видны, Отчаянно мычат и ужаса полны: Им Пифагор навек внушил тревогу. Не в силах преградить той истине дорогу, Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат. Суть истины вся в том, что нам она-навечно, Когда хоть раз в прозрений её увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас, как для него, бесспорна, безупречна. На радостях богам был Пифагором дан обет: За то, что мудрости коснулся бесконечной, Он сто быков заклал, благодаря предвечных; Моленья и хвалы вознес он жертве вслед. С тех пор быки, когда, учуют, тужась, Что к новой истине людей опять подводит след, Ревут остервенело, так что слушать мочи нет, Такой в них Пифагор вселил навеки ужас, Быкам, бессильным новой правде противостоять, Что остается? - Лишь, глаза закрыв, реветь, дрожать.

Родился Пифагор где-то между 600 и 590 гг. до Рождества Христова и жил около ста лет. Много странных легенд дошло до наших дней о его рождении. Некоторые из них утверждают, что он не был обычным смертным человеком, а был одним из богов, принявших человеческий облик для того, чтобы войти в мир и учить человечество.

За 1000 лет античной традиции реальные и вызывающие глубокое уважение к личности Пифагора сведения были перемешаны со множеством легенд, сказок и небылиц. Легенды наперебой объявляли Пифагора чудотворцем; сообщали, что у него было золотое бедро, что люди видели его одновременно в двух разных городах говорящим со своими учениками, что однажды, когда он с многочисленными спутниками переходил реку и заговорил с ней, река вышла из берегов и громким сверхчеловеческим голосом воскликнула: «Да здравствует Пифагор!», что в Тиррении он умертвил своим укусом ядовитую змею, унесшую жизни многих тирренцев, что он предсказывал землетрясения, останавливал повальные болезни, отвращал ураганы, укрощал морские волны.

Порфирий рассказывает о Пифагоре такую историю: в «Таренте он увидел быка на разнотравье, жевавшего зеленые бобы, подошел к пастуху и посоветовал сказать быку, чтобы тот этого не делал. Пастух стал смеяться и сказал, что не умеет говорить по-бычьи; тогда Пифагор сам подошел к быку и прошептал ему что-то на ухо, после чего тот не только тут же пошел прочь от бобовника, но и более никогда не касался бобов, а жил с тех пор и умер в глубокой старости в Таренте при храме Геры, где слыл священным быком и кормился хлебом, который давали ему прохожие».

Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии, Пифагор устроил себе жилье под землей, а матери велел записывать на дощечках всё, что происходит и когда, а дощечки спускать к нему, пока он не выйдет. Мать так и делала; а Пифагор, выждав время, вышел, иссохший, как скелет, предстал перед народным собранием и заявил, будто пришел из Аида, а при этом прочитал им обо всём, что с ними случилось. Все были потрясены прочитанным, плакали и рыдали, а Пифагора почли Богом. И тем не менее основной тон всех преданий о Пифагоре был один: «Ни о ком не говорят так много и так необычайно» (Порфирий).

Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принёс в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя ещё Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.

Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом Отнёс его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его Ранней весною В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока?

Решение: Пусть АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5. Зная, что AB 2 – AC 2 = BC 2. (Х + 0,5) 2 – Х 2 = 2 2 Х 2 + Х + 0,25 – Х 2 = 4 Х = 3,75 АС=3,75 фута. 3, 75 0,3 = 1,125 (м) Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м. Дано: ВС=2 фута Найти: АС-?

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?

Дано: ВС=3 фута АС=4 фута Найти: СD-? Решение: BD = АВ=5 (по теореме Пифагора) CD = CB + BD, CD = =8. Ответ: 8 футов

Задачи по теме «Теорема Пифагора» 1. На одной прямой на равном расстоянии друг от друга стоят три телеграфных столба. Крайние находятся от дороги на расстояниях 18 м и 48 м. Найдите расстояние, на котором находится от дороги средний столб. 2. На одной прямой на равном расстоянии друг от друга стоят три телеграфных столба. Первый и второй находятся от дороги на расстояниях 15 м и 20 м. Найдите расстояние, на котором находится от дороги третий столб. 3. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии от дома оказался мальчик?

1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен… 1. сумме катетов 3. сумме квадратов катетов 2. квадрату катета 4. нет правильного ответа 2. Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то эта сторона лежит напротив… 1. острого угла 3. тупого угла 2 прямого угла 4. нет правильного ответа

3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С, АВ=5 см, АС=4 см. Найти ВС? 1. 3 см см 2. 1 см 4. 9 см 4. Какой из треугольников с указанными сторонами – прямоугольный? 1. 2; 5; ; 9; ; 10; нет правильного ответа

5. Угол С в треугольнике АВС равен… 1. 60° 2. 45° 3. 30° 4. нет правильного ответа С А В 3 2 3