Что такое многогранники? Многогранник в трёхмерном пространстве – тело, ограниченное плоскими многоугольниками так, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного).

Виды многогранников Многогранники Выпуклые Невыпуклые

Основные многогранники Многогранники Пирамида ПризмаПараллелепипед КлинОбелиск

Другие многогранники Помимо этих многогранников существует множество других: выпуклые параллелоэдры (тела Фёдорова), полуправильные многогранники (тела Архимеда), правильные невыпуклые многогранники (тела Кеплера - Пуансо), правильные выпуклые многогранники (тела Платона) и так далее.тела Фёдорователа Архимедатела Кеплера - Пуансотела Платона

Что такое правильные многогранники? Правильными многогранниками называются выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. У правильных многогранников все многогранные углы равны. Они носят названия Тела Платона.

Тела Платона Правильные многогранники Тетраэдр КубОктаэдр ДодекаэдрИкосаэдр

Почему их только пять? Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В правильных многогранниках сумма плоских углов при вершине должна быть менее 360˚. В одной вершине должно сходиться не менее трёх граней. Из этого следует что гранями правильных многогранников могут быт правильные n-угольники, где n5.

Формула Эйлера Эйлер вывел формулу В+Г-Р=2, которая связывает число вершин /В/, граней /Г/ и ребер /Р/ любого многогранника. Исходя из этой формулы можно составить таблицу.таблицу

Дуальность правильных многогранников Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники. Имея же додекаэдр нетрудно построить и икосаэдр: его вершинами будут центры двенадцати граней додекаэдра.

Символы мироздания Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

«Тайна мироздания» И. Кеплера В сферу орбиты Сатурна он вписывает куб, в куб - сферу Юпитера, в сферу Юпитера - тетраэдр, и так далее последовательно вписываются друг в друга сфера Марса - додекаэдр, сфера Земли - икосаэдр, сфера Венеры - октаэдр, сфера Меркурия. Тайна мироздания кажется открытой. Но сейчас можно с уверенностью сказать, что расстояния между планетами не связаны ни с какими многогранниками.

Красота форм в природе Форму одноклеточных организмов - феодарий точно передает икосаэдр. Куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl. Монокристалл алюминиево-калиевых квасцов (KAlSO4)2 12Н2О имеет форму октаэдра. Кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра. Сурьменистый сернокислый натрий имеет форму тетраэдра.

Гипотеза В. Макарова и В. Морозова Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла. В земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. В местах пересечения ребер располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе.

Таблица Название:Число ребер при вершине Число сторон грани Число граней Число ребер Число вершин Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр

Тела Фёдорова

Тела Архимеда

Тела Кеплера-Пуансо Большой звёздчатый додекаэдр Малый звёздчатый додекаэдр Большой икосаэдр Большой додекаэдр

Тела Платона

Выпуклые многогранники Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани и сумма всех плоских углов при каждой вершине многогранника меньше 360˚ Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.

Пирамида Пирамида – многогранник основанием, которого является какой-либо многоугольник, боковые грани - треугольники, сходящиеся в одной вершине. Пира­мида называется n- угольной, если в ее основании лежит n-угольник. Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а высота проходит через его центр.

Призма Призма - многогранник, основаниями которого являются равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а боковыми гранями – параллелограммы.

Параллелепипед Параллелепипед – это призма, у которой основания являются параллелограммами. В параллелепипеде все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Клин Клин - многогранник, у которого основанием является прямоугольник, боковые грани равнобедренные треугольники и равно­ бокия трапеции. V = ( 2a + a 1 ) bh / 6

Обелиск Обелиск – многогранник, у которого нижнее и верхнее основания явля­ются прямоугольниками, расположенными в парал­лельных плоскостях; противоположные боковые грани одинаково наклонены к основанию, но не пересекаются. V= h [ab + (a + а 1 ) (b + b 1 ) + a 1 b 1 ]/6 Если a, b и а 1, b 1 стороны оснований, h – высота.

Тетраэдр Четырехгранник, все грани которого равносторонние треугольники, т.е. треугольная пирамида.

Куб или гексаэдр Правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами.

Октаэдр Восьмигранник, ограниченный восемью равносторонними треугольниками.

Додекаэдр Двенадцатигранник, ограниченный двенадцатью правильными пятиугольниками.

Икосаэдр Двадцатигранник, ограниченный двадцатью равносторонними треугольниками.