Выполнила: Постникова Мария 9 кл. Школа 45

Цель работы: Показать связь математики с природой на примере чисел Фибоначчи Показать связь математики с природой на примере чисел Фибоначчи

Задачи: Изучить литературу по данному вопросу Изучить литературу по данному вопросу Дать понятие чисел Фибоначчи Дать понятие чисел Фибоначчи Дать понятие филлотаксиса Дать понятие филлотаксиса Показать область применения чисел Фибоначчи и филлотаксиса Показать область применения чисел Фибоначчи и филлотаксиса

Немного из истории Фибоначчи( )- итальянский купец Леонардо из Пизы (Фибоначчи- его прозвище, переводится как сын Боначчи; «bonacci» означает «добродушный»). Был самым значительным математиком европейского средневековья. Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с арабскими цифрами. В 1202 году вышел в свет его математический труд «Книга об абаке», в которой были собраны самые известные на то время задачи. Но из всех достижений Леонардо неблагодарное человечество помнит сегодня лишь одну задачу про кроликов из «Книги об абаке».

Задача про кроликов. Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через меся пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

Рассуждая на эту тему, Фибоначчи вывел следующую числовую последовательность: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, 144,233,377,…- Они называются числами Фибоначчи и подчиняются общему закону: f n =f n-1 +f n-2 при всех n>2. Эти числа имеют свойства:1. f 1 +f 2 +…+f n =f n а)f 1 +f 3 +f 5 +f 2n-1 =f 2n б)f 2 +f 4 +f 6 +…+f 2n =f 2n f 1 2 +f 2 2 +…+f n 2 =f n f n+1 4.а)f 2n =f n+1 2 -f n-1 2 б)f 3n =f n+1 3 +f n 3 -f n-1 3 И так далее.

Существует явное выражение для общего члена F n последовательности Фибоначчи, не требующее знания предыдущих членов: f n =1/5[(1+5/2) n -(1- 5/2) n ] Этот результат довольно неожидан – последовательность целочисленная, а общий ее член выражается через квадратные радикалы. Докажем это выражение.

Доказательство: Итак, f n =f n-1 +f n-2.Предположим, что α²=1-α. Выразим значения степеней α 3,α 4,α 5,…через 1= α 0 и α: α 3 =α · α 2 =2α-1, α 4 =2-3α, α 5 =5α-3,… В коэффициентах присутствует последовательность Фибоначчи, начиная с члена f 1. По-видимому, для любого n можно записать формулу: α n =(-1) n (f n-1 -f n α), где f n-1 и f n – члены последовательности Фибоначчи. Докажем это методом математической индукции: α n+1 =(-1) n (f n-1 α -f n α²)=(-1) n (-f n +(f n-1 +f n )α)=(-1) n+1 (f n -f n+1 α). У уравнения α²=1-α два корня- положительный α 1 =- 1+5/2 и отрицательный α 2 =-(1+5/2 ). Как мы убедились, (-1) n α 1 n =f n-1 -f n α 1 (-1) n α 2 n = f n-1 -f n α 2.. Решая эту систему относительно f n, получаем, что fn=1/5[(1+5/2)n-(1- 5/2)n]

Явление филлотаксиса. Филлотаксис- явление в ботанике, когда спирали одного семейства закручиваются к центру против хода часовой стрелки, а спирали другого- по ходу (в переводе с греч. «устройство листа»). Например, соцветья подсолнечника. Числа спиралей в соцветьях подсолнечника приближенно равны двум соседним членам последовательности Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144.

Филлотаксис подсолнечника- одна из многих неожиданных встреч с числами Фибоначчи. Например, винтовое расположение листьев на стебле растений. Ветка цикория! У этого растения листья побега расположены строго один под другим, образуя вертикальные ряды- орто стихи. Винтовое расположение листьев выражают дробью, числитель которой равен числу оборотов по стеблю воображаемого винта от одного листа до другого, а знаменатель- числу листьев в данном цикле, совпадающему с числом орто стих на стебле.(1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, …) Дроби в последовательности образуются числами Фибоначчи, взятыми через одно число.

Ученые утверждают, что вне зависимости от того, знают ли растения математику, они запрограммированы следовать определенному набору развития, что позволяет предположить, что эти «узоры» дают эволюционное преимущество! Именно при таком расположении листьев достигается максимум притока солнечной энергии к растению.

Рассмотрим раковины некоторых моллюсков. Форма раковин поражает своим совершенством и экономичностью средств, затраченных на ее создание. Pаковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см.Cпирали очень распространены в природе. Идея спирали в раковинах выражена не приближенно, а в совершенной геометрической форме, в удивительно красивой, «отточенной» конструкции. У некоторых моллюсков количество частей, формирующих конические раковины, отвечает числам Фибоначчи. Так, раковины фораминифер имеют 13 частей, раковины шпорцевой улитки- 8, количество камер раковины наутилуса- 34 и т.д. из приведенных примеров видно, что конструкции раковин многих ископаемых и моллюсков предпочитают числа 5, 8, 13, 21, 34. Числа из ряда Фибоначчи. Также спирали можно встретить в рогах баранов, коз, антилоп и др. рогатых животных.

Числа Фибоначчи в строении человеческого тела. Как все знают человек- млекопитающее, следовательно, является частью животного мира и на него распространяются законы, действующие на фауну. У человека одно туловище, одна голова, одно сердце и т.д.; многие части тела парные: руки, ноги, почки. Из трех частей состоят руки, ноги, пальцы рук. На руках и ногах по 5 пальцев, а рука вместе с пальцами состоит из 8 частей. У человека 12 пар ребер (одна пара атрофирована и присутствует в виде рудимента). Очевидно, в прошлом у человека было 13 пар ребер, но в процессе эволюции при переходе к прямохождению количество ребер уменьшилось. Как видно из приведенного перечисления частей человеческого тела, в его членении на части присутствуют числа Фибоначчи от 1 до 34. Заметим, что общее число костей скелета человека близко к 233, т. е. отвечает еще одному числу Фибоначчи. Но фибоначчиева закономерность характерна не только для костей. В основании головного мозга выделяют 8 частей, выполняющих разные функции. В теле человека насчитывают 8 желез внутренней секреции. Кишечник и соседние с ним органы (желудок, печень, желчный пузырь и т.д.) составляют в сумме 13 органов. Дыхательные органы состоят из 8 частей. Печень также состоит из 8 частей; почки состоят из 5 частей, а сердце из 13. Этот список частей человека, в перечне которых обнаруживаются числа Фибоначчи, можно было бы продолжить. Случайно ли это? Скорее всего – нет! Человек, как и другие творения природы, подчиняется всеобщим законам развития!

Выводы: Мы дали понятие числам Фибоначчи Доказали тождество для нахождения членов последовательности Фибоначчи Дали понятие филлотаксиса Доказали явление филлотаксиса на примере растений Доказали существенность чисел Фибоначчи в природе, тем самым, показали связь природы с математикой.