Работу подготовили ученики 11Б Школы 364 Власов Юрий и Клейнгоф Денис. Преподаватель: Михайлова Елена Александровна

2 Содержание. 1. Актуальность исследования 2. Исследование 3. Многогранник 4. Тетраэдр 5. Таблица 6. Свойства тетраэдра 7. Ортоцентрический тетраэдр 8. Свойства Ортоцентрического тетраэдра 9. Правильный тетраэдр 10. Свойства правильного тетраэдра 11. Вращающие кольца тетраэдра 12. Тетраэдр и химия 13. Загадки воды 14. АЛЮМОСИЛИКАТЫ 15. Список литературы

3 АКТУАЛЬНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ : На практике тетраэдр встречается редко, но в теории он играет важную роль. Тетраэдр- пространственный аналог треугольника. Так же как из треугольника можно сложить любой многоугольник, из тетраэдра можно сложить любой многогранник.

4 Исследование. С глубокой древности человеку были известны многогранники. Свойства этих многогранников изучали ученые и священники, их модели можно увидеть в работах архитекторов, художников, им приписывали различные магические и целебные свойства. Около любого тетраэдра можно описать сферу, в любой тетраэдр можно вписать сферу.

5 Многогранник. МНОГОГРАННИК-часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами многогранника.

6 Тетраэдр. Тетраэдр- простейший из многогранников, подобно тому как треугольник- простейший из многоугольников на плоскости. Слово тетраэдр образовано из двух греческих слов : tetra –четыре и hedra- основание, грань.Тетраэдр состоит из четырех правильных треугольников. Если развернуть их на плоскости, они образуют равносторонний треугольник – символ Бога. Как и равносторонний треугольник, тетраэдр представляет собой воплощение самой гармонии и равновесия. В нем нет никакого напряжения, т.к каждая угловая вершина находиться на равном расстоянии от всех других, т.е в состоянии покоя и равновесия.

7 Тетраэдр. название тетраэдр обозначение 3|2 3 граней 4 ребер 6 вершин 4 невыпуклых граней 0 количество 4

8 Свойства тетраэдра. Многие свойства тетраэдров сходны с соответствующими свойствами треугольников. В частности, 6 плоскостей, проведенных через середины ребер тетраэдра перпендикулярно к ним, пересекаются в одной точке. В этой же точке О пересекаются и 4 прямые, проведенные через центры описанных около граней окружностей перпендикулярно к плоскостям граней, и О является центром описанной около тетраэдра сферы. Аналогично 6 биссекторных полуплоскостей тетраэдра, т.е полуплоскостей, делящих двугранные углы при ребрах тетраэдра пополам, тоже пересекаются в одной точке- в центре вписанной в тетраэдре сферы- сферы, касающейся всех четырех граней тетраэдра. Тетраэдра может иметь любое число- от 4 до 7- вневписанных сфер, т.е сфер, касающихся плоскостей всех четырех граней тетраэдра.

9 Ортоцентрический тетраэдр. Тетраэдры, в которых прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке, называются ортоцентрическими, точку пересечения этих прямых называют ортоцентром тетраэдра.

10 Свойства ортоцентрического тетраэдра. Если каждые два взаимно противоположных ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны то тетраэдр является ортоцентрическим. Плоские углы при каждой вершине ортоцентрического тетраэдра либо все прямые, либо все острые, либо все тупые. В ортоцентрическом тетраэдре по крайней мере одна грань- остроугольный треугольник. Приведем несколько критериев(т.е необходимых и достаточных условий) ортоценричности: 1) тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только, когда его противоположные ребра перпендикулярны; 2) середины всех шести ребер лежат на одной сфере; 3) все ребра описанного параллелепипеда равны 4) суммы квадратов противоположных ребер равны

11 Правильный тетраэдр. Треугольники принято классифицировать по степени их симметричности: правильные или равносторонние треугольники имеют три оси симметрии. Самый симметричный тетраэдр- правильный, ограниченный четырьмя правильными треугольниками. Он имеет 6 плоскостей симметрии- они проходят через каждое ребро перпендикулярно противолежащему ребру- и 3 оси симметрии, проходящие через середины противоположных ребер.

12 Правильный тетраэдр. Тетраэдр- многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. У правильного тетраэдра все грани являются равносторонними треугольниками, все двугранные углы при ребрах и все трехгранные углы при вершинах равны.

13 Свойства правильного тетраэдра. В тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре(из 8) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами ребер тетраэдра. Тетраэдр с ребром х состоит из одного вписанного октаэдра(в центре) с ребром х/2 и четырех тетраэдров( по вершинам) с ребром х/2. Тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба. Все шесть ребер тетраэдра будут лежать на всех шести гранях куба и равны диагонали грани-квадрата.

14 Вращающиеся кольца тетраэдров Дж.М. Андреас и Р.М. Сталкер независимо друг от друга открыли семейство изгибаемых конечных многогранников с 2n вершинами, 6n ребрами (из которых 2n сдвоенных) и 4n треугольными гранями; n может равняться 6, 8 или любому большему целому числу. Гранями служат грани n тетраэдров, соединенных между собой в циклическом порядке по определенным парам противоположных ребер каждого, так что получается фигура наподобие кольца. При n = 6 эта фигура еще достаточно жесткая, но при n = 8 она уже может изгибаться и выворачиваться до бесконечности, как колечко дыма. Когда n четно, фигура стремится принять симметричную форму; особенно хороша она при n = 10. Когда n нечетно, из-за полного отсутствия симметрии картина становится, пожалуй, еще более захватывающей. При n, большем или равном 22, кольцо может заузливаться.

15 ТЕТРАЭДР И ХИМИЯ. В молекуле метана CH4 атом углерода C связан с 4 одинаковыми атомами-атомами водорода. Н.Физическое равноправие всех 4 связей между атомами C и H естественным образом согласуется с пространственной структурой молекулы CH4 в виде тетраэдра, в вершинах которого находятся атомы водорода, а в центре атом углерода. Симметрия молекулы CH4- это симметрия тетраэдра.

16 ЗАГАТКИ ВОДЫ. Загадки воды разъяснились после того, как была исследовала ее атомная структура. Оказалось, что молекулы воды взаимосвязаны друг с другом направленным образом(подобно, например, взаимодействию атомов углерода с атомами водорода в молекуле метана. Каждая молекула воды может присоединить к себе только 4 соседние молекулы, центры которых в результате присоединения будут образовывать тетраэдр. Такое взаимное расположение молекул воды соответствуют довольно рыхлой, ажурной молекулярной структуре, где каждая молекула имеет всего лишь 4 ближайших соседа.

17 АЛЮМОСИЛИКАТЫ. АЛЮМОСИЛИКАТЫ – природные и синтетические силикаты, содержащие в составе сложных анионов атомы алюминия и кремния. С 1925 по 1931 проводились интенсивные рентгеноструктурные исследования силикатов и алюмосиликатов и было установлено, что основным «строительным кирпичиком» этих соединений является атом кремния или алюминия, окруженный четырьмя атомами кислорода, – кремне(алюмо)кислородный тетраэдр. Многообразие же алюмосиликатов объясняется разными способами соединения этих тетраэдров, которые обычно сочленяются вершинами с образованием связей.

18 Список литературы. По материалам книги: У. Болл, Г. Коксетер Л.В. Тарасов-Симметрия в окружающем мире Энциклопедический словарь юного математика