Понятие конуса. Площадь поверхности конуса. У сеченный конус. 900igr.net

Рассмотрим окружность L с центром в точке О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости α этой окружности. Через точку Р и каждую точку окружности проведем прямую. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности. Точка Р называется вершиной, а прямая OР – осью конической поверхности. α О L P

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. Круг называется основанием конуса, вер­шина конической поверхности вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности боковой поверх­ностью конуса. Ось конической поверхности называ­ется осью конуса, а ее отрезок, заключенный между вершиной и основанием, высотой конуса. Отметим, что все образующие конуса равны друг другу (объ­ясните почему). O P Ось Вершина Образующие Боковая поверхность Основание

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рисунке изображен конус, полученный вращением прямоугольного треугольника ABC вокруг катета АВ. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы АС, а основание вращением катета ВС. В А С

Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого диаметр основания конуса, а боковые стороны образующие конуса. Это сечение называется осевым.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О и расположенным на оси, конуса. Радиус r 1 этого круга равен (ОР/РО 1 )*r, где r - радиус основания конуса, что легко усмотреть из подобия прямоугольных треугольников РОМ и РО 1 М 1. O P M О1О1 r r1r1 M1 α

Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. В Р А Р А В А |

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь S бок боковой поверхности конуса через его образу­ющую I и радиус основания r. Площадь кругового сектора развертки боковой поверхности конуса равна π l 2 α 360 Где α – градусная мера дуги АВА I, поэтому

S бок = πl2απl2α 360 (1)

Выразим α через l и r. Так как длина дуги ABA' равна 2πr (длине окружности основания конуса), то 2πr = (πl/180)* α, откуда α = 360 r l

Подставив это выражение в формулу (1), получим S бок = url (2)

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади S КОН полной поверхности конуса получается формула Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади S КОН полной поверхности конуса получается формула

S бок = πr(l+ r)

В озьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, высотой усеченного конуса. O P О1 r1 Основание Образующая Основание r Боковая поверхность

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу.

Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. На рисунке изображен усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD, перпендикулярной к основаниям AD и ВС. При этом боковая поверхность образуется вращением боковой стороны АВ, а основания усеченного конуса вращением оснований СВ и DA трапеции. С В А D

Докажем, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую, т. е. S бок = π (r + r 1 ) l Где r и r 1 – радиусы оснований, l – образующая усеченного конуса.

Пусть Р вершина конуса, из которого получен усеченный конус, АА 1 одна из образующих усеченного конуса, r > r 1 точки О и О 1 центры оснований. Используя формулу (2), получаем O P A О1 r1

S бок = π r * PA - π r 1 * PA = π r(PA 1 + AA 1 ) - π r 1 * PA 1

Отсюда, учитывая, что AA 1 =l, находим S бок = url + π(r - r 1 ) PA 1 Выразим PA 1 через l, r и r 1. Прямоугольные треугольники РО 1 А 1 и РОА подобны, так как имеют общий острый угол Р, поэтому (3)

PA 1 PA = r 1 r или PA 1 + l Отсюда получаем PA 1 = r 1 r PA 1 = l r 1 r - r 1

S бок = π(r+r 1 )l Подставив это выражение в формулу (3), приходим к формуле Подставив это выражение в формулу (3), приходим к формуле