Презентацію розробила Русецька Тетяна Володимирівна, учитель математики ЗОШ 11 м. Сміли Черкаської області

Основні теми розділу: Основні поняття стереометрії Аксіоми стереометрії та наслідки з них Просторові геометричні фігури Початкові уявлення про многогранники Найпростіші задачі на побудову перерізів многогранників

розрізняти означувані та неозначувані поняття, аксіоми і теореми називати основні поняття стереометрії наводити приклади просторових геометричних фігур формулювати аксіоми стереометрії та наслідки з них пояснювати застосування аксіом до розвязування геометричних і практичних задач розвязувати задачі на побудову перерізів

ПланіметріяСтереометрія

А Точка а Пряма Площина Відстань

Площини попарно перетинаються по прямих a, b, c, причому a||b і b||c. Зобразіть це на малюнку.

Точки А і В лежать у площині, а точка С - поза нею. Намалюйте площину, в якій лежать усі три точки.

На скільки частин розділяється простір двома площинами? Випадок 1Випадок 2 Відповідь: на 3 або на 4.

Аксіоми стереометрії С1С1 С2С2 С3С3 С4С4

С 1. У просторі існує (принаймні одна) площина і точка, що не лежить у цій площині

C 2. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того тільки одну

С 3. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то і вся пряма лежить у цій площині

С 4. Якщо дві площині мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку

Теорема. Через пряму і точку поза нею, можна провести площину і до того ж тільки одну.

Теорема. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину і до того ж тільки одну.

1. Площину можна провести через три точки, що не лежать на одній прямій. 2. Площину можна провести через пряму і точку поза нею. Аксіома 1Теорема 1 Теорема 2 3. Площину можна провести через дві прямі, що перетинаються.

У площині лежать точки А і В, у площині - точки В і С, у площині - точки А, В і С. Зробіть відповідний малюнок.

А В С М К Р Точки А, В, С не лежать на одній прямій. М належить АВ, К належить АС, Р належить МК. Доведіть, що точка Р лежить в площині (АВС).

Дано куб, точка К – середина ребра. Площини яких граней перетинає пряма: а) ВК; б) СК? а) б)СК перетинає всі грані куба, крім

Дано куб, точка К – середина ребра. Побудуйте точку перетину прямої: а) з площиною (АВС); б) ВК з площиною. а) F – точка перетину б) E – точка перетину

Вам уже відомі два види многогранників: призма і піраміда ПризмаПіраміда Многогранники вершини ребра основи бічні ребра

Прямокутний паралелепіпед Куб Трикутна призма Шестикутна призма

Трикутна піраміда Шестикутна піраміда Чотирикутна піраміда

Якщо многогранник перетнути площиною, то фігура, яка складається з усіх точок, спільних для многогранника і січної площини, називається перерізом многогранника даною площиною.

Щоб побудувати переріз многогранника площиною, треба задати цю площину (вказати три точки, що не лежать на одній прямій, або пряму і точку, або паралельні прямі тощо).

Задача 1 Побудуйте переріз куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 площиною, що проходить через точки K, P, T – середини ребер AB, BB 1, BC. Розвязання. Точки К, Р, Т не лежать на одній прямій, тому задають деяку площину. Сполучимо точки К і Р. Січна площина та площина АВВ 1 А 1 перетинаються по прямій КР. Сполучимо точки Т і Р. Січна площина та площина ВСС 1 В 1 перетинаються по прямій ТР. Сполучимо точки Т і К. Січна площина та площина ABCD перетинаються по прямій ТК. В результаті ми отримаємо трикутник КРТ. Це ї є шуканий переріз.

Задача 2 Побудуйте переріз куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 площиною, що проходить через точки K, P, T. Розвязання. Проведемо відрізки КР і ТР, оскільки ці точки попарно знаходяться в одних площинах. Точки К і Т знаходяться в різних площинах, тому для побудови перерізу ми використаємо метод слідів. Для побудови перерізу нам буде зручно продовжити відрізок СВ і РТ (оскільки вони лежать в одній площині) так, щоб вони перетнулись у точці L. Сполучаємо точку L і точку K. Отриманий відрізок лежить на прямій перетину січної площини із площиною ABCD. Тепер сполучимо точки Т і М. Отриманий чотирикутник МКРТ і є шуканим перерізом.

Задача 3 Побудуйте переріз куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 площиною, що проходить через середини ребер AB і AD і паралельна ребру CC1. Розвязання. Сполучимо точки Т і К. Пряма ТК є перетином січної площини із площиною ABCD. Тепер проведемо відрізок ТМ паралельно ребру СС 1. Аналогічно проводимо відрізок КР. Сполучаємо точки М і Р. Отриманий чотирикутник КТМР і є шуканим перерізом.

Задача 4 Побудуйте переріз куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, що проходить через середини ребер АА 1, ВВ 1 і паралельний ребру ВС. Розвязання. Сполучаємо відрізком точки М і К. Січна площина перетинаєься з площиною ABCD по прямій МК. Проводимо відрізок МР, що паралельний прямій ВС. Січна площина перетинається з площиною BB 1 CC 1 по прямій МР. Проводимо відрізок КТ, який також паралельний ребру ВС. Січна площина перетинається з площиною АА 1 DD 1 по прямій KT. Сполучаємо точки Т і Р. Січна площина перетинається з площиною CC 1 DD 1 по прямій ТР. Отриманий чотирикутник МКТР і є шуканим перерізом.

Задача 5 Побудуйте переріз куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, що проходить через діагональ B 1 D 1 і паралельна ребру АА 1. Сполучаємо відрізком точки B 1 і D 1. Відрізки, паралельні ребру у нас вже є – це ребра DD 1 і ВВ 1. Теперь сполучимо відрізом точки B і D. Отриманий чотирикутний BB 1 D 1 D і є шуканим перерізом.

Задача 6 Побудуйте переріз куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, що проходить через точки P, T, K, O, L, M, що є серединами ребер B 1 C 1, C 1 D 1, D 1 D, DA, AB, BB 1 відповідно.