Теорема Пифагора. Теорема Пифагора. Ученица 8 «Б» класса МОУ ООШ 27 Перещако Ирина. Руководитель: Аниськова О.И.

Основополагающий вопрос В чём изящество Теоремы Пифагора?

ЦЕЛИ ПРОЕКТА Изучение исторических сведений. Изучение теоремы и поиск способов доказательств. Поиск «Замечательных» задач по применению теоремы. Поиск ответа на основополагающий вопрос.

Ход исследований 1. Изучение истории. 2. Поиск формулировки теоремы. 3. Афоризм для запоминания «Пифагоровы штаны во все стороны равны». 3. Поиск способов доказательства теоремы. 4. Для легкого запоминания… 5. А вот ещё Замечательные задачи. 6. Пифагоровы «заповеди». 7. Ссылки на используемую литературу.

Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим И таким простым путём К результату мы придём.

Из истории О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Он учился у Фалеса, который, вскоре, отправил своего ученика к египтянам. Сей народ открыл перед Пифагором прекрасный мир науки, но, когда ученый решил вернуться домой, чтобы открыть школу, египтяне пытались его задержать. Однако, у них не получилось.

Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе: теорема о сумме внутренних углов треугольника; построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них; геометрические способы решения квадратных уравнений; деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел; доказательство того, что не является рациональным числом; создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста"..

Формулировка теоремы "В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов"

Пифагоровы штаны во все стороны равны Действительно, это шуточная формулировка теоремы.. Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы; рисовали шаржи.

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по- другому: "Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах". Действительно, с 2 – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а 2 и b 2 – площади квадратов, построенных на катетах

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка 9 видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Доказательство простейшее Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах. Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ΔABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

Доказательство с доп.построением. Пусть Т - прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. а). Докажем, что с 2 =а 2 +Ь 2. Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис. б).На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т 1, Т 2, Т 3, Т 4 с катетами а и b.

Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р - квадрат со стороной с. Все треугольники Т 1, Т 2, Т 3, Т 4 равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые. Пусть a и b - величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, a+b = 90°. Угол при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными a и b, составляет развернутый угол. Поэтому a+b =180°. И так как a+b = 90°, то g=90°.

Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р - квадрат со стороной с. Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T). Так как S(Q)=(a+b) 2 ; S(P)=c 2 и S(T)=½a*b, то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство (a + b) 2 = c 2 + 4*½a*b. Поскольку (a+b) 2 =a 2 +b 2 +2*a*b, то равенство (a+b) 2 =c 2 +4*½a*b можно записать так: a 2 +b 2 +2*a*b=c 2 +2*a*b. Из равенства a 2 +b 2 +2*a*b=c2+2*a*b следует, что с 2 =а 2 +Ь 2. ч.т.д.

Доказательство с косинусом Пусть ΔАВС - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла(Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе)соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC 2. Аналогично соs.В = BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС 2. Складывая полученные равенства почленное и замечая, что AD+DB=AB, получим: АС 2 +ВС 2 =АВ(AD + DB)=АВ 2. Теорема доказана.

Доказательство с окружностью Площадь прямоугольного треугольника:S=½*a*b или S=½(p*r) (для произвольного треугольника); p - полупериметр треугольника; r - радиус вписанной в него окружности. r = ½*(a + b - c) - радиус вписанной в любой треугольник окружности. ½*a*b = ½*p*r = ½(a + b + c)*½(a + b - c); a*b = (a + b + c)*½(a + b - c); a + b=x; a*b = ½(x + c)*(x - c)*a*b = ½(x 2 -c 2 ) a*b = ½(a 2 + 2*a*b + b 2 - c 2 ) a 2 + b 2 - c 2 = 0, значит a 2 + b 2 = c 2

Для легкого запоминания… На зачётах и экзаменах иногда бывают случаи, когда ученики, вытянув билет, помнят формулировку теоремы, но забывают с чего начать доказательство. Для легкого запоминания можно представлять рисунок.

Задачи Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

Задача индийского математика XII века Бхаскары На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?»

Задача из китайской «Математики в девяти книгах» Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, калико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстоять иметь.

Пифагорова головоломка Из семи частей квадрата составить снова квадрат, прямоугольник, равнобедренный треугольник, трапецию. Квадрат разрезается так: E, F, K, L – середины сторон квадрата, О – центр квадрата, ОМ EF, NF EF.

Для разминки: некоторые заповеди Пифагора. Мысль – превыше всего между людьми. Сыщи себе верного друга; имея его, ты можешь обойтись без богов. Юноша! Если ты желаешь себе жизни долгоденственной, то воздержи себя от пресыщения и всякого излишества.

Не пренебрегай здоровьем своего тела. Научись жить просто и без роскоши. Через весы не шагай – избегай алчности. Не садись на хлебную меру – не живи праздно. Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания.

Ласточек в доме не держи – не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык. Не закрывай глаза, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за день. По торной дороге не ходи – следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих. Делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаиваться. Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать.

Юные девицы! Помятуйте, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда оно изображает изящную душу. Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом. Не пекись о скитании великого знания: из всех знаний нравственная наука, может быть, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются.

Пифагорейцы с равным усердием заботились и о духовном развитии, и о физическом… Так давайте и мы продолжим их труд!

Результаты исследований Я узнала много интересного и нового. А главное, пришла к выводу, что изящество теоремы состоит в простоте её формулировки, способах доказательства и использовании в решении практических задач. В дальнейшем мои знания помогут мне решать задачи и с ещё большим интересом относиться к изучению истории геометрии. Очень значимыми и жизненными для меня оказались и заповеди ПИФАГОРЕЙЦЕВ. Предлагаю своим одноклассникам ознакомиться с материалом моих исследований. Возможно, кто-то из Вас продолжить мои « НАЧАЛА» ИБО! Путь к теореме логичен и прост На её применения -постоянный запрос! Тему : « Треугольники» открой! Без Пифагора, ты - «никакой»!

Ссылки и литература 1.Задачи, изображения, история: irina.ru/html/f htmlhttp:// irina.ru/html/f html 2.Изображения, доказательства: 3.Геометрия. 7-9 класс. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.