Решение простейших тригонометрических неравенств

Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции обычно сводится к решению простейших неравенств вида: sin(t) ;)a; cos(t) ;)a; tg(t) ;)a; ctg(t) ;)a; Способы решения этих неравенств совершенно очевидным образом вытекают из представления тригонометрических функций на единичном круге.

Вид неравенства Множество решений неравенства sinx > a (|a|<1)x (arcsin a + 2πn, π - arcsin a + 2πn), nΖ sin x < a (|a|<1)x (-π - arcsin a + 2πn, arcsin a + 2πn), nΖ cos x > a (|a|<1)x (-arccos a + 2πn, arccos a + 2πn), nΖ cos x < a (|a|<1)x (arccos a + 2πn, 2π - arccos a + 2πn), nΖ tg x > ax (arctg a + πn, π/2 + πn), nΖ tg x < ax (-π/2 + πn, arctg a + πn), nΖ ctg x > ax (πn, arcctg a + πn), nΖ ctg x < ax (arcctg a + πn, π + πn), nΖ

Неравенства : sin x > a, sin x a, sin x < a, sin x a

Тригонометрическое неравенство sin(t)a. Все точки P t единичной окружности при значениях t, удовлетворяющих данному неравенству, имеют ординату, большую или равную -1/2. Множество таких точек это дуга l, которая выделена жирным на рисунке ниже. Найдем условие принадлежности точки P t этой дуге. Точка P t лежит на правой полуокружности, ордината P t равна 1/2, и, следовательно, в качестве t 1 удобно взять значение t 1 =arcsin(-1/2)=-π/6. Представим себе, что мы совершаем обход дуги l от точки P t1 к P t2 против часовой стрелки. Тогда t 2 > t 1, и, как легко понять, t 2 =π- arcsin(-1/2)=7*π/6. Таким образом, получаем, что точка P t принадлежит дуге l, если -π/6 t 7*π/6. Таким образом, решения неравенства, принадлежащие промежутку [-π/2 ; 3*π/2] длиной 2*π таковы: -π/6 t 7*π/6. Вследствие периодичности синуса остальные решения получаются добавлением к найденным чисел вида 2πn, где n - целое. Таким образом, мы приходим к ответу: -π/6+2πnt7π/6+2πn, n - целое.

Пример 1 Решите неравенство Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит Для x [0; 2π] решением данного неравенства будут Ясно также, что если некоторое число x будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на 2π n то sin x также будет не меньше Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить 2π n, где Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все где Ответ. где

Тригонометрическое неравенство cos(t)<a Рассмотрим решение простейших тригонометрических неравенств с косинусом на примере решения неравенства cos(t) t 1 и t 2 =2π- arccos(1/2)=5π/3. Точка принадлежит выделенной дуге l (исключая ее концы) при условии, что π/3<t<5π/3. Решения неравенства, принадлежащие промежутку [0; 2π] длиной 2π, таковы: π/3<t<5π/3. Вследствие периодичности косинуса остальные решения получаются добавлением к найденным чисел вида 2πn, где n - целое. Таким образом, мы приходим к окончательному ответу: π/3+2πn<t<5π/3+2πn, n - целое.

Тригонометрическое неравенство tg(t)a Рассмотрим способ решения тригонометрического неравенства с тангенсом на примере неравенства tg(t)1. период тангенса равен π Найдем сначала все решения данного неравенства, принадлежащие промежутку (-π/2; π/2), а затем воспользуемся периодичностью тангенса. Для выделения всех точек P t правой полуокружности, значения t которых удовлетворяют данному неравенству, обратимся к линии тангенсов. Если t является решением неравенства, то ордината точки T - луч AT (см. рисунок ниже). Множество точек P t, соответствующих точкам этого луча, - дуга l, выделенная на рисунке жирным. Следует отметить, что точка P t1 принадлежит рассматриваемому множеству, а P t2 нет. Найдем условие, при котором точка P t принадлежит дуге l. t 1 принадлежит интервалу (-π/2 ; π/2), и tf(t)=1, следовательно t 1 =arctg(1)=π/4. Значит t должно удовлетворять условию - π/2<tπ/4. Все решения данного неравенства, принадлежащие промежутку (-π/2 ; π/2), таковы: (-π/2 ; π/4]. учитывая периодичность тангенса, приходим к окончательному ответу: -π/2+πn<tπ/4+πn, n - целое.

Сабитова Файруза Рифовна преподаватель математики ГАОУ СПО «Сармановский аграрный колледж»