Ознаки паралельності прямих 1. Дві прямі паралельні, якщо: а) внутрішні різносторонні кути рівні; б) відповідні кути рівні; в) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 °. a II b 2. Дві прямі, які перпендикулярні третій прямій, паралельні. 3. Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній.

Властивості паралельних прямих 1. Якщо дві прямі паралельні, то: а) внутрішні різносторонні кути рівні; б) відповідні кути рівні; в) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 °. a II b 2. Якщо пряма перпендикулярна одній із двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і другій паралельній прямій. 3. Якщо дві прямі, що перетинаються, відповідно паралельні двом перпендикулярним прямим, то вони перпендикулярні.

Сума кутів трикутника 1. Сума кутів трикутника дорівнює 180 °. 2. У будь якому трикутнику хоча б два кути гострі. 3. Якщо один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 60 °, то цей трикутник - рівносторонній, тобто у рівностороннього трикутника кожний кут дорівнює 60 °. АВ = ВС = АВ Зовнішнім кутом трикутника при даній вершині називається кут, суміжний з кутом трикутника при цій вершині. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним.

Прямокутний трикутник Трикутник називається прямокутним, якщо він має прямий кут. Висота прямокутного торикутника, опущена на гіпотенузу, розбиває трикутник на два прямокутних трикутники, гострі кути яких рівні гострим кутам даного трикутника. У прямокутного рівнобедреного трикутника гострі кути дорівнюють по 45 ° кожний.

Ознаки рівності прямокутних трикутників Для порівняння двох прямокутних трикутників достатньо знайти два відповідно рівних елементи. Перша ознака: за двома катетами. Якщо два катети одного прямокутного трикутника відповідно рівні двом катетам другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні. Друга ознака: за гіпотенузою і катетом. Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника відповідно рівні гіпотенузі і катету другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні. Третя ознака: за гіпотенузою і гострим кутом. Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні гіпотенузі і гострому куту другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні. Четверта ознака: за катетом і гострим кутом. Якщо катет і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно рівні катету і гострому куту другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

У прямокутному трикутнику супротив кута 30 ° лежить катет, який дорівнює половині гіпотенузи. Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.

Тренувальні вправи 1. На рисунку знайти паралельні прямі і довести їх паралельність. Розвязання. АВ паралельна СD. Тому, що АОВ дорівнює СОD, оскільки ВО = СО; АО = DО за умовою, АОВ = СОD як вертикальні (перша ознака). Із рівності трикутників випливає, що АОВ = DСО, а це внутрішні кути при прямих АВ, СD та січній ВС, отже, АВ паралельна СD. 2. Внутрішні односторонні кути, утворені при перетині двох паралельних прямих третьою прямою, відносяться як 2:3. Чому дорівнюють ці кути. Розвязання. Якщо величини кутів відносяться як 2;3, то можна їх позначити: 1 = 2х; 2 = 3х. Відомо, що = 180 ° (властивість внутрішніх односторонніх кутів). Складемо рівняння: 2х + 3х = 180 ; 5х = 180 ° ; х = 36 °. Отже 1 = 2х = 72 °; 2 = 3х = 108 °. Відповідь: 1 = 72 ° ; 2 = 108 °.

3. Бісектриси АК і СМ рівностороннього трикутника АВС перетинаються в точці О. Знайти кут МОА. Розвязання. В рівносторонньому трикутнику кути рівні і мають по 180 °: 3 = 60 °. Бісектриси поділяють кути навпіл, тому ОАС = ОАМ = 60 ° :2 = 30 °, тоді в АОС ОАС = 30 °, і АОС = 180 ° - (30 ° + 30 ° ) = 120 °. Кут суміжний з АОС, отже МОА = 180 ° ° = 60 °. Відповідь: МОА = 60 °. 4. Один із кутів прямокутного трикутника дорівнює 30, а сума гіпотенузи і меншого з катетів дорівнює 30см. Знайти гіпотенузу трикутника. Розвязання. Нехай АВ = х. Катет, що лежить супротив кута 30 ° у прямокутному трикутнику, дорівнює половині гіпотенузи: х = 2АС. За умовою, АВ + АС = 30см, оскільки лежить супротив меншого кута. Отже, х + х/2 = 30см; 3/2х = 30см; 3х = 60см; х = 20см; АВ = 20см. Відповідь: АВ = 20см.