Выполнила Бахарева Вероника. Руководитель. Телегина В. Г г. МОУ «Парбигская СОШ» Проектная работа.

Цель работы: Создать банк данных красивых задач математики, предложенных учащимися и учителями МОУ «Парбигская СОШ». Создать банк данных красивых задач математики, предложенных учащимися и учителями МОУ «Парбигская СОШ».

Задачи : Задачи : 1. Провести опрос среди учащихся и учителей и обобщить результаты и сделать выводы. 2. Собрать красивые задачи у учащихся и учителей нашей школы.

Отношение к математики. Отношение к математики. Математика одна из важнейших и нужных наук для человека. Многие считают, что она не пригодится в жизни, но на самом деле люди встречаются с ней каждый день. Многие не понимают и не ценят истинную красоту математики. Стоит только погрузится в неё глубже, и человеку будет интересно познавать мир этой прекрасной и интересной науки. Математика одна из важнейших и нужных наук для человека. Многие считают, что она не пригодится в жизни, но на самом деле люди встречаются с ней каждый день. Многие не понимают и не ценят истинную красоту математики. Стоит только погрузится в неё глубже, и человеку будет интересно познавать мир этой прекрасной и интересной науки.

Учащиеся считают, что математику нужно учить для того : Чтобы сдать экзамены и чтобы поступить в ВУЗ. Чтобы сдать экзамены и чтобы поступить в ВУЗ. Вывод: Притупление познавательного интереса, прекрасного качества, подаренного человеку природой. Притупление познавательного интереса, прекрасного качества, подаренного человеку природой. Ученики перестали ощущать и ценить красоту математики, силу ее эмоционального воздействия. Ученики перестали ощущать и ценить красоту математики, силу ее эмоционального воздействия.

Я провела опрос, задавая учителям и учащимся один и тот же вопрос «Как вы считаете, какая задача математики является красивой?»Вот некоторые ответы. Я провела опрос, задавая учителям и учащимся один и тот же вопрос «Как вы считаете, какая задача математики является красивой?»Вот некоторые ответы.

Мой учитель математики Валентина Геннадьевна считает, что красивая задача – это задача, с несколькими способами решения.

Ученицы седьмого класса считают, что красивая задача – это задача, которая имеет простое решение.

Мои одноклассницы, в том числе и учитель химии Людмила Александровна считают, что красивая задача – это задача на движение.

Учитель математики Светлана Эдуардовна и учитель русского языка и литературы Валентина Николаевна считают, что красивая задача – это задача с несколькими способами решения.

Ученицы 6 класса считают, что красивая задача – это задача, которая аккуратно оформлена.

Моя одноклассница считает, что красивая задача – это задача с целыми числами.

Мой учитель русского языка и литературы Ирина Андриановна считает, что красивая задача – это задача, в которой есть какая – то изюминка или особенность.

Учитель 3 – го класса Татьяна Устиновна и ученица 7 – го класса считают, что красивая задача – это задача, с несколькими способами решения.

Всего я опросила 100 учеников и 6 учителей. Мнения разошлись. Всего я опросила 100 учеников и 6 учителей. Мнения разошлись. 23 человека считают, что красивая задача – это задача на проценты. 23 человека считают, что красивая задача – это задача на проценты.

44 человек считают, что красивая задача – это задача, с несколькими способами решения. 44 человек считают, что красивая задача – это задача, с несколькими способами решения. 29 человек считают, что красивая задача – это задача с простыми решениями. 29 человек считают, что красивая задача – это задача с простыми решениями.

3 человека считают, что красивая задача – это задача на движение. 3 человека считают, что красивая задача – это задача на движение. 4 человека считают, что красивая задача – это задача с целыми числами. 4 человека считают, что красивая задача – это задача с целыми числами. 3 человека считают, что красивая задача – это задача, которая выполнена аккуратно.

Я рассчитала проценты от 106 учеников и учителей, которых я опросила, и составила следующую диаграмму. Я рассчитала проценты от 106 учеников и учителей, которых я опросила, и составила следующую диаграмму. По ней четко видно, что большинство опрошенных считают, что красивая задача – это задача с несколькими способами решения.

Я считаю, что красивая задача математики – это задача с параметром. Я считаю, что красивая задача математики – это задача с параметром. Я хочу предложить в банк данных две такие задачи. Я хочу предложить в банк данных две такие задачи.

Задача 1. При каких значениях а уравнение При каких значениях а уравнение х² + 2 ах + а² - 4 = 0 имеет два корня, принадлежащие промежутку ( -6; 6)?

Решение: Решение: Х² + 2 ах + а² - 4 = 0 Х² + 2 ах + а² - 4 = 0 а = 1 Д = в² - 4 ас = (2 а)² - 4 * 1(а²- а = 1 Д = в² - 4 ас = (2 а)² - 4 * 1(а²- в = 2 а - 4) = 4 а² - 4 а² + 16 = в = 2 а - 4) = 4 а² - 4 а² + 16 = с = а² - 4 Д = 16 = 24 с = а² - 4 Д = 16 = 24

B m A1A1 n C q B1B1 p A Дан произвольный ABC; Дан произвольный ABC; Точка A 1 Є BC и Точка A 1 Є BC и BA 1 : A 1 C= m: n; BA 1 : A 1 C= m: n; Точка B 1 Є AC и Точка B 1 Є AC и AB 1 : B 1 C=p: q AB 1 : B 1 C=p: q Требуется найти отношение: Требуется найти отношение: BO: OB 1 BO: OB 1 Задача, предложенная учащимися 11 класса и их учителем Телегиной В. Г. о

Менелая Решение, используя теорему Решение, используя свойство подобия Перевод на язык физики Перевод на язык векторов Различные возможные подходы к решению задачи

A p B1B1 q E C n A1A1 m B Произведём дополнительное построение: проведём прямую A 1 E ll BB 1 Произведём дополнительное построение: проведём прямую A 1 E ll BB 1 Тогда можно применить теорему Менелая: Тогда можно применить теорему Менелая: Решение, используя теорему Менелая о

O A1A1 C q B1B1 p A B E Применение свойств подобия треугольников Так как в условии задачи даны отношения и требуется найти отношение, то это указывает – имеет смысл применить подобие. Дополнительное построение: провести прямую BE ll AC, продолжить отрезок AA 1 до точки E пересечения с прямой BE. Рассмотрим ОВЕ и ОВ 1 А :, как вертикальные; как внутренние накрест лежащие; => => OBE ~ OB 1 A по третьему признаку =>

Применение свойств подобия треугольников Рассмотрим ВА 1 Е и А 1 АС : АС ll ВЕ и АЕ- секущая как внутренние накрест лежащие;, как вертикальные => ВА 1 Е ~А 1 АС по третьему признаку Тогда: E B O A1A1 C q B1B1 p A

В некоторых задачах используется понятие центра масс тела или системы тел. В некоторых случаях, зная положение центра масс, можно полагать, что вся масса тела или системы тел сосредоточена в одной точке (тело точечных размеров). Центр масс подсистемы, состоящей из двух точечных тел, лежит на прямой, соединяющей эти точки. Перевод на язык физики Поместим в точку С m ГР, а в точку В n ГР, тогда будет выполняться правило моментов сил, а центр масс подсистемы ВС- в точке А 1. Можно считать, что в точке А 1 заключена масса (m+ n). Чтобы выполнялось правило моментов сил на стороне АС, в точку А надо поместить (mp\q) ГР С (m ГР ) A1A1 В(n ГР ) А B1B1

Центр масс между точками А и С сосредоточен на стороне АС, то есть в точке В 1. Центр масс между точками А и С сосредоточен на стороне АС, то есть в точке В 1. Можно считать, что в точке В1 заключена масса ( ) ГР. Можно считать, что в точке В1 заключена масса ( ) ГР. По правилу моментов: ВО* n=OB 1 *( ) ГР По правилу моментов: ВО* n=OB 1 *( ) ГР Перевод на язык физики

Перевод на язык векторов Есть смысл перевести данную задачу на язык векторов. Есть смысл перевести данную задачу на язык векторов. Идея – выразить какой-то вектор два раза через, Идея – выразить какой-то вектор два раза через, Пусть : x y

Перевод на язык векторов x y

Отдел справок. Теорема Менелая Пусть на прямых ВС, СА,АВ, содержащих стороны АВС, даны соответственно точки А1, В1, С1. Для того, чтобы эти точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство: Пусть на прямых ВС, СА,АВ, содержащих стороны АВС, даны соответственно точки А1, В1, С1. Для того, чтобы эти точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство: Доказательство: Доказательство: Пусть точки А1,В1, С1 коллинеарный. Через вершину В проведём прямую ВK ll А1В1, K Є (АС). По теореме о пропорциональных отрезках на сторонах угла имеем: Подстановка этих отношений в доказываемое Подстановка этих отношений в доказываемое равенство сводит его к очевидному: B1B1 K AB C1C1 A1A1 C

Отдел справок. Правило моментов. Плечо силы Как известно из курса статики одним из условий равновесия тела является: алгебраическая сумма моментов всех сил равна нулю. Как известно из курса статики одним из условий равновесия тела является: алгебраическая сумма моментов всех сил равна нулю. М 1 + М 2 + …+ М n = 0 М 1 + М 2 + …+ М n = 0 Моментом силы называют произведение модуля силы на плечо силы. Моментом силы называют произведение модуля силы на плечо силы. М = F * L М = F * L Плечо силы – длина перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы. Плечо силы – длина перпендикуляра, опущенного из оси вращения на линию действия силы.

Задача, предложенная учащимися 10 класса. Это стереометрическая задача, которая после выхода из пространства на плоскость, решается пятью способами. Это стереометрическая задача, которая после выхода из пространства на плоскость, решается пятью способами.

Задача: Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные по углом 30 градусов к плоскости, причем их проекции образуют угол 120 градусов. Найдите расстояние между концами наклонных.

Дано: Плоскость α, точка А не принадлежит плоти α, AB, AC- наклонные, AO- перпендикуляр, <ACO=30°, <BOC=120°, AO=a. Найти: BC A C B O α

Решение: Рассмотрим ABO(<О=90°, <В=30°) Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу = 30°, равен половине гипотенузы. Значит АВ= 2 а, а так как АВ=АС, значит и АС=2 а. Применим теорему Пифагора ВО²= АВ²- АО² ВО= а 3

С О В а 3 120˚ 30˚

1. Применим теорему sin. ВС/sin<O= BO/sin<C BO*sin<O BC= sin<C Sin120°= sin(90°+30°) = cos30°= 3/2 a3*3/2 3a 1 BC= = : ---- = 3a 0,5 2 2 Ответ: ВС=3 а

С О В К а 3 120˚ 30˚

2. Так как ВОС- равнобедренный, проведем ОК, которая будет являться высотой, биссектрисой и медианой. Рассмотрим ВОК(<К=90°) Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу = 30°, равен половине гипотенузы. Значит а 3 ОК= Применим теорему Пифагора ВК²= ВО²- ОК² 3 а ВК= ---- ВК=КС ВК+КС=ВС 2 Ответ: ВС=3 а

3. ВК- катет, которые является прилежащим к <В=30°. Значит, ВК= ОВ* cos30° а а ВК= * = BC=BK+KC Ответ: ВС=3 а

4. Применим теорему косинусов. _______________________ ВС= BD²+OC²- 2*BO*OC*cos120° cos120°= cos(90°+30°)= - sin30°= - 0,5 ______________ ___ BC=3a²+3a²+6a²*0,5 = 9a² = 3a Ответ: ВС= 3 а

5. ОК- катет, который является противолежащий <В=30°. Значит ОК= ОВ*sin30° a3 1 a3 OK= * = Применим теорему Пифагора ВК²= ОВ²- ОК² 3 а 3 а 3 а ВК= ВС= ВК+КС ВС= Ответ: ВС=3 а

Цена билета была 100 рублей. Через месяц цену понизили сначала на 15%, а потом на 20%. Какова стоимость билета? И сколько билетов можно купить на 204 рубля? Задача, предложенная ученицей 6 класса.

Решение задачи: Условие задачи. 100 р.-100%Хр.-15% Составим пропорцию Х Х=1500Х=1500/100Х=15 р. 2) =85 р. -Стоит билет при понижении цены на 15%

Решение задачи: Условие задачи. 85 р.-100% Хр. – 20% Составим пропорцию Х Х=1700Х=1700/100Х=17 р.-20% 85-17=68 р. Стоит билет. 204/68=3 билета можно купить на 204 рубля Ответ: цена билета 68 р., на 204 рубля можно купить 3 билета. Ответ: цена билета 68 р., на 204 рубля можно купить 3 билета.

2 Автомобиль стоил рублей его цену повысили на 50%, после понизили на 40%. Сколько стоит автомобиль?

Решение задачи: Условие задачи. 1 млн.-100%Х-50% Составим пропорцию Х 50 Х 50100Х= Х= /100 Х= р. (50%) 1 млн = р. Стоит при повышение цены на 50 %.

Решение задачи: Условие задачи р.-100% Хр. - 40% Хр. - 40% Составим пропорцию Х 40 Х 40100Х= Х= /100Х= р.(40%) = р. Стоит автомобиль

3 Маша загадала число. После она понизила его на 60% прибавила к нему 25 и получила 111. Какое число загадала Маша?

Решение задачи: Пуст Х - задуманное Машей число. Т.к. она понизила его на 60% прибавила к нему 25 и получила 111, то составим уравнения. Х-0,6Х+25=1110,4Х=86Х=86*5 2 Х=215 Ответ: 215 – число, задуманное Машей.

Условия задачи Условия задачи В равнобокой трапеции нижние основание равно 14, боковая сторона – 10. Найдите высоту, если так же известно, что угол при большем основании равен 60°. В равнобокой трапеции нижние основание равно 14, боковая сторона – 10. Найдите высоту, если так же известно, что угол при большем основании равен 60°. A 60º BC D Задача, предложенная 8 классом.

1 способ решения: В трапеции ABCD проведем высоту BE.И рассмотрим треугольник ABE (где угол BEA = 90º ) Так как угол BAD равен 60º (трапеции ABCD), то соответственно угол ABE = 30º. Так как катет, противолежащий углу в 30º равен ½ гипотенузы, то катет AE = 5. По теореме Пифагора найдем BE:BE = AB- AE; BE = = 75 Ответ: BE = 75 = 5 3 Ответ: BE = 75 = 5 3 E 60º BC DA 10 14

2 способ решения: В трапеции ABCD проведем высоту BE. И рассмотрим треугольник ABE (где угол BEA = 90º ). Так как угол BAD равен 60º (трапеции ABCD), то соответственно угол ABE = 30º. Для того чтобы найти высоту, воспользуемся теоремой синусов. В трапеции ABCD проведем высоту BE. И рассмотрим треугольник ABE (где угол BEA = 90º ). Так как угол BAD равен 60º (трапеции ABCD), то соответственно угол ABE = 30º. Для того чтобы найти высоту, воспользуемся теоремой синусов. B C B C 60º DA 10 14E

10 = BE 10 = BE 10 = BE 10 = BE sin 90º sin 60º 1 3 sin 90º sin 60º = 2 BE 2 BE = = 2 BE 2 BE = BE = BE = 5 3 Ответ:BE = º BC DA 10 14E

3 способ решения: В трапеции ABCD проведем высоту BE. И рассмотрим треугольник ABE (где угол BEA = 90º ) В трапеции ABCD проведем высоту BE. И рассмотрим треугольник ABE (где угол BEA = 90º ) Так как угол BAD равен 60º (трапеции ABCD), то соответственно угол ABE = 30º. Так как катет, противолежащий углу в 30º равен ½ гипотенузы, то катет AE = 5. Так как угол BAD равен 60º (трапеции ABCD), то соответственно угол ABE = 30º. Так как катет, противолежащий углу в 30º равен ½ гипотенузы, то катет AE = 5. Теперь для того чтобы найти BE, воспользуемся теоремой косинусов: Теперь для того чтобы найти BE, воспользуемся теоремой косинусов:

BE ² = AB ² + AE ² - 2AB cosBAE BE ² = AB ² + AE ² - 2AB cosBAE BE ² = – 50 ½ BE ² = – 50 ½ BE = 75 BE = 75 ВЕ = 5 3 Ответ: BE = 75 = 5 3 Ответ: BE = 75 = 5 3

Выводы: Работая над данным проектом я ещё раз убедилась, что математика,хотя и сложная, но красивая наука. Очень интересно находить для решения одной задачи разные подходы, решать различными способами, а ответ всегда получается одинаковый. Работая над данным проектом я ещё раз убедилась, что математика,хотя и сложная, но красивая наука. Очень интересно находить для решения одной задачи разные подходы, решать различными способами, а ответ всегда получается одинаковый.

Создавая банк данных красивых задач математики, я решила, что он может пригодиться не только ученикам, но и учителям нашей школы, а возможно и учителям и ученикам других регионов. Т.к. мы планируем разместить данный проект на сайте нашей школы. Создавая банк данных красивых задач математики, я решила, что он может пригодиться не только ученикам, но и учителям нашей школы, а возможно и учителям и ученикам других регионов. Т.к. мы планируем разместить данный проект на сайте нашей школы.