Уравнение прямой Теорема. Прямая на плоскости задается уравнением ax + by + c = 0, где a, b, c - некоторые числа, причем a, b одновременно не равны нулю.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Уравнение прямой Теорема. Прямая на плоскости задается уравнением ax + by + c = 0, где a, b, c - некоторые числа, причем a, b одновременно не равны нулю.
Advertisements

Уравнение плоскости в пространстве Теорема. Плоскость в пространстве задается уравнением где a, b, c, d - действительные числа, причем a, b, c одновременно.
Уравнение плоскости Теорема. Плоскость в пространстве задается уравнением где a, b, c, d - действительные числа, причем a, b, c одновременно не равны нулю.
Прямая на плоскости Общее уравнение прямой Уравнение прямой в отрезках Каноническое уравнение прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом Угол между.
Урок1 Прямая на плоскости.. Виды уравнений прямой на плоскости. Прямая на плоскости может быть задана одним из следующих ниже уравнений. 1. Прямая на.
Глава III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности.
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Уравнение линии на плоскости. Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих.
Глава III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности.
Уравнение прямой в пространстве Поскольку прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, то одним из способов аналитического.
Урок 2 Прямая на плоскости.. Взаимное расположение прямых на плоскости Прямые на плоскости могут совпадать, пересекаться или быть параллельными. 1. Пусть.
Аналитическая геометрия Лекции 8,9. Прямая на плоскости.
Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго.
Уравнение прямой в пространстве Поскольку прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, то одним из способов аналитического.
Общее уравнение прямой В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет.
3. Взаимное расположение прямых на плоскости На плоскости две прямые могут: а) быть параллельны, б) пересекаться. Пусть уравнения прямых 1 и 2 имеют вид:
Плоскость и прямая в пространстве Лекции 10, 11. Определение. Уравнением поверхности в пространстве называется такое уравнение между переменными которому.
Плоскость и прямая в пространстве Лекция 10. Определение. Уравнением поверхности в пространстве называется такое уравнение между переменными которому.
§ 4. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве Пусть A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 и A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 – уравнения любых двух различных.
Координаты вектора Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Определим понятие координат вектора. Для этого отложим вектор так, чтобы.
Элементы аналитической геометрии. 9 класс.. р Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, ей параллельной.
Транксрипт:

Уравнение прямой Теорема. Прямая на плоскости задается уравнением ax + by + c = 0, где a, b, c - некоторые числа, причем a, b одновременно не равны нулю и составляют координаты вектора, перпендикулярного этой прямой и называемого вектором нормали.

Угловой коэффициент Если число b в уравнении прямой не равно нулю, то, разделив на b, это уравнение можно привести к виду y = kx + l. Коэффициент k называется угловым коэффициентом этой прямой. Он равен тангенсу угла, который образует прямая с осью абсцисс.

Взаимное расположение прямых Две прямые, заданные уравнениями a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 = 0, параллельны, если векторы их нормалей одинаково или противоположно направлены, т.е. для их координат (a 1,b 1 ), (a 2,b 2 ) для некоторого числа t выполняются равенства a 2 =ta 1, b 2 =tb 1. При этом, если с 2 =tс 1, то уравнения определяют одну и ту же прямую. Если же с 2 tc 1, то эти уравнения определяют параллельные прямые. Если две прямые пересекаются, то угол между ними равен углу между их нормалями (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ). Этот угол можно вычислить через формулу скалярного произведения

Пример 1 Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями x + 2y – 1 = 0, 2x – y + 3 = 0. Решение: Векторы нормалей к данным прямым имеют координаты (1, 2) и (2, -1) соответственно. Их скалярное произведение равно нулю и, следовательно, эти векторы перпендикулярны. Значит, угол между данными прямыми равен 90 о.

Пример 2 Найдите уравнение прямой, проходящей через заданные точки A 1 (x 1, y 1 ) и A 2 (x 2, y 2 ). Решение: Найдем вектор нормали к данной прямой. Он перпендикулярен вектору (x 2 – x 1, y 2 – y 1 ). Следовательно, в качестве такого вектора можно взять вектор с координатами (y 2 – y 1, x 1 – x 2 ). Искомым уравнением прямой будет уравнение (y 2 – y 1 )(x – x 1 ) + (x 1 – x 2 )(y – y 1 ) = 0, которое можно также переписать в виде (y 2 – y 1 )x + (x 1 – x 2 )y + x 2 y 1 – y 2 x 1 = 0.

Упражнение 1 Какие уравнения имеют координатные прямые: а) Ox; б) Oy? Ответ: а) y = 0;б) x = 0.

Упражнение 2 Прямая задана уравнением x - 2y + 1 = 0. Чему равны координаты вектора нормали? Нарисуйте эту прямую и вектор нормали. Ответ: (1, -2).

Упражнение 3 Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом: а) k = 1; б) k = 2; в) k = ; г) k = -1; д) k = -2; е) k = -. Нарисуйте эти прямые. Ответ: а) y = x;б) y = 2x; в) y = x; г) y = -x; д) y = -2x; е) y = - x.

Упражнение 4 Найдите угловой коэффициент прямой: а) 2x - 3y + 4 = 0; б) x + 2y - 1 = 0. Ответ: а)б)

Упражнение 5 Ответ: x - y + 1 = 0. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A 0 (1, 2) с вектором нормали (-1, 1).

Упражнение 6 Ответ: x + y - 1 = 0. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 0), B (0, 1).

Упражнение 7 Напишите уравнение прямой, проходящей через точки M(3, -1), N(4, 1). Найдите координаты вектора нормали этой прямой. Ответ: 2x - y - 7 = 0; (2, -1).

Упражнение 8 Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку M(1, -2) и параллельна: а) координатной прямой Ox; б) координатной прямой Oy; в) прямой y = x. Ответ: а) y = -2;б) x = 1;в) y = x – 3.

Упражнение 9 Точка H(-2, 4) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Напишите уравнение этой прямой. Ответ: x - 2y + 10 = 0.

Упражнение 10 Определите, какие из перечисленных ниже пар прямых параллельны между собой: а) x + y - 1 = 0, x + y + 1 = 0; б) x + y - 1 = 0, x - y - 1 = 0; в) -7x + y = 0, 7x - y - 5 = 0; г) 2x + 4y - 8 = 0, -x - 2y + 4 = 0. Ответ: а), в).

Упражнение 11 Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями x + y + 1 = 0, x - y - 1 = 0. Нарисуйте эти прямые. Ответ: 90 о.

Упражнение 12 Найдите координаты точки пересечения прямых: а) x + y - 1 = 0, x - y + 3 = 0; б) 3x - y + 2 = 0, 5x - 2y + 1 = 0. Ответ: а) (-1, 2);б) (-3, -7).

Упражнение 13 Треугольник задан своими вершинами A(1, 3), B(3, 0), C(4, 2). Найдите уравнения высот этого треугольника и координаты их точки пересечения. Ответ: h a : x + 2y – 7 = 0; h b : 3x – y – 9 = 0; h c : 2x – 3y – 2 = 0;