Тема 6

Двочлен називають біномом. Відомо при умові, що

Неважко обчислити, що Порівнявши коефіцієнти розкладу степенів бінома з відповідними рядками трикутника Паскаля неважко помітити, що вони збігаються. Чи виконується такий збіг для будь-якого натурального показника n в розкладі

Теорема Коефіцієнти розкладу збігаються з n-м рядком трикутника Паскаля, тобто для будь- якого натурального показника n справджується рівність Дана формула дістала назву формули бінома Ньютона, на честь видатного англійського фізика і математика Ісаака Ньютона.

Ісаак Ньютон фізик, механік, що заклав основи класичної механіки, він пояснив рух небесних тіл - планет навколо Сонця і Місяця навколо Землі. Найвідомішим його відкриттям був закон всесвітнього тяжіння. Ісаак Ньютон народився він 4 січня 1643 в невеликому селі Вулсторп в графстві Лінкольншир. Батько його помер ще до народження сина, а мати, вийшовши заміж удруге, залишила Ньютона під опікою бабусі. Він ріс нетовариським хлопчиком, спочатку в школі вчився дуже погано і часто ставав об'єктом для насмішок однокласників. Але наполегливість у навчанні дозволила йому незабаром стати одним з успішних учнів, і ставлення до нього змінилося. Найбільше Ньютона цікавила техніка і математика. У 1660 році Ньютон вступив в Кембридж, який закінчив у 1665 році зі званням магістра мистецтв. Він став серйозно займатися наукою, сформулював три закони механіки, закон всесвітнього тяжіння, створив телескоп- рефлектор, проводив досліди з розкладання світла. Відкриті Ньютоном основи механіки всіх фізичних тіл і явищ - від небесних тіл до розповсюдження звуку визначили розвиток фізики як науки на багато століть вперед. Наукова творчість Ньютона зіграла винятково важливу роль в історії розвитку фізики. У його честь названа одиниця сили в Міжнародній системі одиниць - ньютон. Сам Ньютон досить скромно відгукувався про свої відкриття, вважаючи їх підготовленими його попередниками. Широко відома його фраза: «Якщо я бачив далі інших, то тому, що стояв на плечах гігантів». Ньютон був президентом Лондонського Королівського товариства з 1703 року. Помер великий учений 31 березня 1727.

Доведення І спосіб 1.Для n=1 маємо, тобто теорема справджується. 2. Припустимо, що для n=k рівність правильна. Доведемо, що вона стверджується і для n=k+1

Тоді,

Звівши подібні доданки маємо Так як і маємо формулу яку треба було довести.

Отже, теорема правильна і для n=k На основі принципу математичної індукції теорема правильна для будь- якого натурального n. ІІ спосіб За означенням степеня з натуральним показником маємо:

Перемноживши n раз послідовно а+b одержимо суму 2 n доданків виду Розіб'ємо всі доданки на(n+1) групу В 0, В 1 …В n, віднісши до В т всі ті доданки, в яких b зустрічається множником т раз, а а -(n-m) раз. Число доданків у В т дорівнює (таким числом способів серед n множників d1d2d3…dn можна вибрати т множників, які дорівнюють b), а кожен доданок В т дорівнює a n-m b m. d1d2d3…dn, де di (i=1,2,…n) дорівнює або a, або b.

Тому - число комбінацій з n елементів по т елементів, причому ці числа мають ще одну назву – біноміальні коефіцієнти. Праву частину цієї формули називають біноміальним розкладом бінома.

Основні наслідки 1 В розкладі міститься (n+1) доданків. 2 В формулі Ньютона показники степеня a спадають від n до 0, а показники степеня при b зростають від 0 до n. Сума показників при a і b в будь-якому доданку розклада дорівнює n. 3 Біноміальні коефіцієнти, рівновіддалені від кінців розкладу, рівні між собою. 4 Загальний член розкладу має вигляд

5 Сума біноміальних коефіцієнтів дорівнює 2 n. 6 Щоб дістати біноміальний коефіцієнт наступного члена, слід біноміальний коефіцієнт попереднього члена помножити на показник степеня а в цьому члені і розділити на число попередніх членів.

Приклади 1Піднесіть до шостого степеня х-2у. Розвязання. Згідно формули розкладу бінома Ньютона маємо:

2 Знайдіть дванадцятий член бінома Ньютона Розв'язання

Запитання для повторення 1.Що таке формула бінома Ньютона? 2.Назвіть властивості бінома Ньютона. 3.Як знайти n- й член розкладу бінома Ньютона? 4.Доведіть формулу бінома Ньютона.