В ГЕОМЕТРИИ

«Природа сыграла злую шутку с математиками. Учёным XIX века, возможно, не хватало воображения, зато у природы его было достаточно. Те патологические структуры, которые были изобретены математиками, желавшими оторваться от свойственного XIX веку натурализма, оказались основой множества хорошо знакомых, повсюду нас окружающих объектов». Из статьи Ф. Дайсона «Анализ неупорядоченных структур», опубликованной в журнале "Science" в мае 1978 года

"Почему геометрию часто называют "холодной" и "сухой"? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака - не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не окружности, древесная кора не гладкая, молния распространяется не по прямой

В более общем плане я утверждаю, что многие объекты в Природе настолько иррегулярные и фрагментированы, что по сравнению с Евклидом - термин, который в этой работе означает всю стандартную геометрию, - Природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня. Число различных масштабов длины природных объектов для всех практических целей бесконечно". Бенойт Б. Мандельброт

Фрактальная геометрия описывает весьма широкий класс природных процессов и явлений. Формы снежинок, пламя костра, кровеносно-сосудистая система у человека, очертания гор, границы материков, русла горных рек, береговая линия и многое другое - все это фракталы. Фракталы позволяют визуально представить математическую идею детерминированного хаоса. Главный их принцип - самоподобие: при рассмотрении фракталов через микроскоп с различным увеличением они выглядят примерно одинаково.

Фракталы это прежде всего язык геометрии. Однако их главные элементы недоступны непосредственному наблюдению. В этом отношении они принципиально отличаются от привычных объектов евклидовой геометрии, таких, как прямая линия или окружность. Фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур.

Овладев языком фракталов, можно описать форму облака так же чётко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии. Язык это очень подходящая метафора для концепции, лежащей в основе фрактальной геометрии

ЛИНЕЙНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ

Линейные фракталы обладают самоподобием в чистом виде - любая часть есть точная копия целого. Нелинейные фракталы более разнообразны и обладают не точным самоподобием - в них часть есть не точная, а деформированная копия целого.

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие- либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Независимо от природы или метода построения у всех фракталов есть одно важное общее свойство: степень изрезанности или сложности их структуры может быть измерена неким характеристическим числом фрактальной размерностью. Различные определения понятия фрактальной размерности в большей или меньшей степени восходят к работе Ф. Хаусдорфа, опубликованной в 1919 году.