Паралельність прямих і площин у просторі Смілянська загальноосвітня школи І – ІІІ ступенів 11 Смілянської міської ради Черкаської області Геометрія, 10 клас Профільний рівень Учитель Русецька Т.В.

Основні теми розділу Мимобіжні та паралельні прямі Паралельність прямої та площини Паралельність площин Паралельне проектування та його властивості Зображення фігур у стереометрії Методи побудови перерізів многогранників

Мета: вчити Формулювати означення паралельних і мимобіжних прямих, паралельних прямої і площини, паралельних площин; ознаки паралельності прямих і площин; властивості паралельності прямих і площин. Класифікувати взаємне розміщення прямих, прямих і площин, площин у просторі. Знаходити і зображати паралельні прямі, прямі та площини на малюнках, будувати зображення фігур. Розвязувати задачі на застосування властивостей та ознак паралельності прямих і площин. Застосовувати метод слідів та проекцій для побудови перерізів многогранників.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі Дві прямі Лежать в одній площині Не лежать в одній площині перетинаютьсяпаралельні мимобіжні

перетинаються паралельні мимобіжні

Пряма і площина у просторі можуть: Мати одну спільну точку Безліч спільних точок α а а α а α Пряма паралельна до площини

Паралельність прямої і площини Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок. Якщо пряма а паралельна площині α, пишуть а||α. а α

Ознака паралельності прямої і площини Якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій площини, то вона паралельна і самій площині. b a β α b || α

Властивість паралельності прямої і площини Якщо площина проходить через пряму, паралельну другій площині, і перетинає цю площину, то пряма їх перетину паралельна даній прямій. α β b a a || b

β β β β Мають одну спільну точку Перетинаються по прямій Не мають спільної точки Мають безліч спільних точок Накладання площин і β

Якщо дві прямі, що перетинаються і лежать в одній площині, паралельні двом прямим другої площини, то такі площини паралельні. a b a1a1 b1b1 β C C1C1 1. a b ab = C 2. a 1β b1b1β a1a1 b 1 = C 1 3. a а 1 b b 1 β => β

α β A B C D AB=CD Властивості паралельних площин 2. Відрізки паралельних прямих, що відтинаються паралельними площинами, рівні. AC||BD 1. Площина, яка проходить через прямі АВ і СD, перетинає паралельні площини по паралельних прямих.

Нехай дано довільну площину, довільну пряму l і точку А. Тоді образ точки А можна побудувати провівши через неї пряму, паралельну прямій l і яка перетинає площину. Точкою перетину прямої з площиною є точка А 1. А1А1 А l L Метод паралельного проектування

Оригінал Зображення K MA BC D B1B1 A1A1 D1D1 C1C1 K1K1 M1M1

А BC D А1А1 B1B1 C1C1 D1D1 ОригіналЗображення

CB DA C1C1 B1B1 D1D1 A1A1 ОригіналЗображення AB : BC = 1 : 2 A 1 B 1 : B 1 C 1 = 1 : 2 CD : AD = 1 : 2 C 1 D 1 : A 1 B 1 = 1 : 2 BK : KC = B 1 K 1 : K 1 C 1 K M K1K1 M1M1 AM : MD = A 1 M 1 : M 1 D 1

Тестове завдання 1. Точка М не лежить у площині прямокутника ABCD. Яке взаємне розташування прямих МА і СD ? А) Перетинаються; Б) паралельні; В) мимобіжні; Г) паралельні або мимобіжні. 2. Пряма а паралельна площині, пряма b належить площині. Яким може бути взаємне розміщення прямих а і b? А) Паралельні; Б) перетинаються; В) мимобіжні; Г) мимобіжні або паралельні. 3.Точка М лежить поза площиною трикутника АВС. Точки К, Р, Е і D – середини відрізків МА, АВ, МС і ВС відповідно. Яке взаємне розміщення прямих КР і ЕD? А) Перетинаються; Б) мимобіжні; В) паралельні; Г) мимобіжні або перетинаються.

4. Сторона АВ паралелограма ABCD належить площині, а сторона СD не належить цій площині. Яке взаємне розміщення прямої СD і площини ? А) пряма СD перетинає площину ; Б) пряма СD паралельна площині ; В) пряма СD лежить у площині. 5. Пряма а паралельна площині. Скільки площин, паралельних площині можна провести через пряму а ? А) Одну; Б) дві; И) жодної; Г) безліч. 6. Як розташовані площини і, якщо пряма а перетинає площину і паралельна площині ? А) Паралельні; Б) перетинаються; В) збігаються; Г) визначити неможливо. 7. Точка М не належить жодній із паралельних площин і. Скільки всього існує площин, які проходять через точку М і паралельні площинам і ? А) Одна; Б) дві; В) жодної; Г) безліч.

8. Площини і паралельні. Пряма а перетинає площину. Як розташована пряма а відносно площини ? А) Паралельна площині; Б) лежить у площині; В) перетинає площину; Г) визначити неможливо. 9. Основи трапеції паралельні площині. Яке взаємне розміщення площини трапеції і площини ? А) Перетинаються; Б) паралельні; В) збігаються; Г) визначити неможливо. 10. Площини і паралельні. Площина перетинається з площиною по прямій а, а з площиною - по прямій b. Яке взаємне розміщення прямих а і b ? А) Перетинаються; Б) мимобіжні; В) паралельні; Г) визначити неможливо.

Відповіді до тесту 1В, 2Г, 3В, 4Б, 5А, 6Б, 7А, 8В, 9А, 10В

Задача. Побудувати переріз куба АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 площиною, що проходить через середини ребер АD і СD паралельно до ребра DD 1. А1А1 АD С С1С1 В1В1 В D1D1 ММ 1 || DD 1 NN 1 || DD 1 МM 1 N 1 N - шуканий переріз М М1М1 N N1N1

Задача. Побудувати переріз тетраедра ABCD площиною, що проходить через середину ребра АС паралельно ребрам AB і DC. MK || DC MN || AB NF || DC MKFN – шуканий переріз D B N C A M K F

Методи побудови перерізів Метод слідів Метод внутрішньої проекції Комбінований метод

Задача. Побудуйте переріз куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 площиною, що проходить через точки K, P, T. Пряма, по якій січна площина перетинає площину α, називається слідом січної площини в площині α. Точка, в якій січна площина перетинає пряму, -слід січної площини на цій прямій.

Якщо многогранником, переріз якого будується, є піраміда, то використовується центральне проектування на площину основи. Центром проектування є вершина піраміди, в якій сходяться всі бічні ребра. Задача. Побудуйте переріз чотирикутної піраміди SABCD площиною, яка проходить через точки M, N, K. S B D A C K N P O1O1 O2O2 E F M N1N1 M1M1 R

Задача. Побудуйте переріз призми ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 площиною, яка проходить через точки K, P, T.

Чотирикутник A 1 B 1 C 1 D 1 є зображенням квадрата. Точка М – середина АВ, AC і DM перетинаються у точці N. Побудувати зображення ортоцентра трикутника ANM.

B A C D M O N К B1B1 K 1 A1A1 M1M1 N1N1 D1D1 C1C1 ОригіналЗображення

Дано куб АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1. Точки L, M, M 1 – cередини ребер АВ, АД, А 1 Д 1 відповідно. Яке взаємне розміщення площин ДВ 1 Д 1 і LMM 1 ? (ДВ 1 Д 1 ) || (LMM 1 ) MZ || DB як середня лінія ABD MM 1 || DD 1 за ознакою паралельності площин L M M1M1

Задача для самостійного розвязування Дано прямокутниий паралелепіпед, у якого АВ=, ВС=, =. Через вершину зроблено переріз паралелепіпеда, паралельний площині. Знайдіть площу цього перерізу.